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Energie eines Massepunktes
Um die Gesamtenergie \( E \) des Massenpunkts als Funktion von \( \lambda \) und \( \dot{\lambda} \) zu berechnen, müssen wir die kinetische Energie \( T \) und die potenzielle Energie \( V \) des Massepunkts berücksichtigen.
Die potenzielle Energie \( V \) eines Massenpunkts in einem Gravitationsfeld ist gegeben durch:
\( V = mgh \)
wobei \( h \) die Höhe über einer Referenzhöhe (in diesem Fall \( z \)) ist:
\( V = mgz = mgR(1-\cos \lambda) \)
Die kinetische Energie \( T \) eines bewegten Massepunkts ist gegeben durch:
\( T = \frac{1}{2}mv^2 \)
wobei \( v \) die Geschwindigkeit des Massepunkts ist. Die Geschwindigkeit kann durch Differenzierung der Ortsfunktionen nach der Zeit gefunden werden:
\( x(\lambda) = R(\lambda + \sin \lambda), \quad z(\lambda) = R(1 - \cos \lambda) \)
Dann ist:
\( \dot{x}(\lambda) = \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{d\lambda}\frac{d\lambda}{dt} = R(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}, \quad \dot{z}(\lambda) = \frac{dz}{dt} = R\sin \lambda \dot{\lambda} \)
Daraus folgt für die Geschwindigkeit \( v \):
\( v^2 = \dot{x}^2 + \dot{z}^2 = R^2(1 + \cos \lambda)^2\dot{\lambda}^2 + R^2\sin^2 \lambda \dot{\lambda}^2 \)
\( v^2 = R^2\left((1 + \cos \lambda)^2 + \sin^2 \lambda\right)\dot{\lambda}^2 \)
Da \( (1 + \cos \lambda)^2 + \sin^2 \lambda = 1 + 2\cos \lambda + \cos^2 \lambda + \sin^2 \lambda = 2 + 2\cos \lambda \),
haben wir:
\( v^2 = R^2(2 + 2\cos \lambda)\dot{\lambda}^2 = 2R^2(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}^2 \)
Die kinetische Energie \( T \) ist daher:
\( T = \frac{1}{2}m \cdot 2R^2(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}^2 \)
\( T = mR^2(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}^2 \)
Die Gesamtenergie \( E \) des Massenpunkts ist die Summe seiner kinetischen und potenziellen Energie:
\( E = T + V = mR^2(1 + \cos \lambda)\dot{\lambda}^2 + mgR(1 - \cos \lambda) \)
Substitution und Harmonischer Oszillator
Nach der Substitution \( u = 4R \sin(\lambda / 2) \), gilt:
\( \sin(\lambda / 2) = \frac{u}{4R} \)
Da \( \cos \lambda = 1 - 2\sin^2(\lambda / 2) \), haben wir:
\( \cos \lambda = 1 - 2\left(\frac{u}{4R}\right)^2 \)
\( \cos \lambda = 1 - \frac{u^2}{8R^2} \)
Setzen wir dies in die Energiegleichung ein, folgt:
\( E = mR^2\left(1 + 1 - \frac{u^2}{8R^2}\right)\dot{\lambda}^2 + mgR(1 - 1 + \frac{u^2}{8R^2}) \)
\( E = mR^2\left(2 - \frac{u^2}{8R^2}\right)\dot{\lambda}^2 + \frac{mgu^2}{8R} \)
Die Form dieser Gleichung ähnelt der Energie eines harmonischen Oszillators:
\( E = \frac{1}{2}m\omega_0^2u^2 + \frac{1}{2}m\dot{u}^2 \)
Wenn wir den Koeffizienten von \( \frac{u^2}{8R} \) im Ausdruck für \( E \) mit \( \frac{1}{2}m\omega_0^2 \) vergleichen, erhalten wir:
\( \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{R}} \)
Die Schwingungsdauer \( T \) eines harmonischen Oszillators ist gegeben durch:
\( T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \)
Die Laufzeit \( T \) für ein Teilchen, das von irgendeinem Punkt auf der Zykloide aus der Ruhe losgelassen wird, bis es bei \( x=z=0 \) ankommt, entspricht dieser Schwingungsdauer und ist unabhängig von der Anfangsposition des Teilchens, was bedeutet, dass jedes Teilchen, egal von welcher Startposition auf der Zykloide, stets nach der gleichen Zeit \( T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \) bei \( x=z=0 \) ankommt.
