Antwort mit KI erzeugt
Erklärung und Lösung:
Um die Aufgabe zu lösen, betrachten wir das Problem im Rahmen der Fourier-Optik, bei der die Intensitätsverteilung auf dem Leuchtschirm durch das Betragsquadrat der Fourier-Transformierten der Blendenfunktion \(f(x)\) gegeben ist. Ist \(F(k)\) die Fourier-Transformierte von \(f(x)\), so ist die Intensitätsverteilung \(I(k)\) direkt proportional zu \(|F(k)|^2\).
Blendenfunktion:
Die gegebene Blendenfunktion ist \(f(x) = 1\) für \(-a < x < a\) und \(f(x) = 0\) sonst. Zu zeigen ist, dass die Verschiebung der Blendenfunktion um einen konstanten Wert \(a'\), also \(f(x - a')\), die Intensitätsverteilung nicht verändert.
Fourier-Transformation der Blendenfunktion:
Die Fourier-Transformierte von \(f(x)\) lautet:
\(
F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i2\pi kx} dx
\)
Mit der gegebenen Blendenfunktion vereinfacht sich das Integral zu:
\(
F(k) = \int_{-a}^{a} e^{-i2\pi kx} dx
\)
Dieses Integral kann gelöst werden als:
\(
F(k) = \frac{e^{-i2\pi ka} - e^{i2\pi ka}}{-i2\pi k} = \frac{2\sin(2\pi ka)}{2\pi k} = \frac{\sin(2\pi ka)}{\pi k}
\)
Verschiebung der Blendenfunktion:
Die verschobene Blendenfunktion \(f(x - a')\) hat die Fourier-Transformierte:
\(
F'(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x - a') e^{-i2\pi kx} dx
\)
Wegen der Eigenschaft der Fourier-Transformation, dass eine Verschiebung im Ortsraum einer Phasenmodulation im Frequenzraum entspricht, können wir schreiben:
\(
F'(k) = e^{-i2\pi ka'} F(k) = e^{-i2\pi ka'} \frac{\sin(2\pi ka)}{\pi k}
\)
Vergleich der Intensitätsverteilungen:
Die Intensitätsverteilung ohne Verschiebung ist \(|F(k)|^2\):
\(
I(k) = \left|\frac{\sin(2\pi ka)}{\pi k}\right|^2
\)
Mit der Verschiebung wird die Intensitätsverteilung \(|F'(k)|^2\):
\(
I'(k) = \left|e^{-i2\pi ka'} \frac{\sin(2\pi ka)}{\pi k}\right|^2
\)
Da der Betrag eines Produkts gleich dem Produkt der Beträge ist und der Betrag von \(e^{-i2\pi ka'}\) gleich 1 ist (weil es eine komplexe Zahl mit Betrag 1 auf dem Einheitskreis ist), folgt, dass:
\(
I'(k) = \left|\frac{\sin(2\pi ka)}{\pi k}\right|^2 = I(k)
\)
Fazit:
Die Intensitätsverteilung \(I(k)\) auf dem Leuchtschirm ist invariant gegen die Verschiebung der Blendenfunktion um einen konstanten Wert \(a'\), da sowohl \(I(k)\) als auch \(I'(k)\) identisch sind.
