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Reaktionsgeschwindigkeiten und Differenzialgleichungen
Gegeben sind zwei Reaktionsgeschwindigkeiten für die Umwandlungen \(A \rightarrow B\) mit der Geschwindigkeit \(a\) und \(B \rightarrow A\) mit der Geschwindigkeit \(b\). Wenn mit \(V\) das Gesamtvolumen beider Stoffe im Reaktionsgefäß bezeichnet wird und mit \(\omega(t)\) das Volumen des Stoffes A, dann ist \(V - \omega(t)\) das Volumen des Stoffes B.
Die Änderungsrate des Volumens von Stoff A lässt sich mit folgender Differenzialgleichung beschreiben:
\(
\frac{d\omega}{dt} = -a \omega + b(V - \omega)
\)
Diese Gleichung beschreibt den Nettoeffekt der beiden Reaktionen. Der erste Teil \(-a\omega\) repräsentiert die Abnahme von A, die in B umgewandelt wird, und der zweite Teil \(b(V - \omega)\) repräsentiert die Zunahme von A, die aus der Umwandlung von B in A resultiert.
Lösen der Differenzialgleichung
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir sie auf die folgende Form:
\(
\frac{d\omega}{dt} = -a \omega + bV - b\omega = - (a + b)\omega + bV
\)
Diese Gleichung kann als lineare Differenzialgleichung erster Ordnung betrachtet werden. Die allgemeine Lösung dieser Art von Differenzialgleichung ist bekannt und kann direkt angewendet werden:
\(
\omega(t) = Ce^{-(a+b)t} + \frac{bV}{a+b}
\)
Um \(C\) zu bestimmen, verwenden wir die Anfangsbedingung, dass zu Beginn (\(t=0\)) nur Stoff B vorhanden ist, d.h., \(\omega(0) = 0\). Einsetzen in die Gleichung ergibt:
\(
0 = Ce^{-(a+b)(0)} + \frac{bV}{a+b} = C + \frac{bV}{a+b}
\)
Das löst man für \(C\) wie folgt:
\(
C = - \frac{bV}{a+b}
\)
Durch Einfügen von \(C\) in die allgemeine Lösung erhalten wir:
\(
\omega(t) = - \frac{bV}{a+b}e^{-(a+b)t} + \frac{bV}{a+b}
\)
Diese Gleichung beschreibt, wie sich das Volumen von Stoff A im Laufe der Zeit ändert. Das maximale Volumen von A wird erreicht, wenn \(t \rightarrow \infty\) geht, da dann der Exponentialterm gegen Null geht und wir erhalten:
\(
\lim_{t \rightarrow \infty} \omega(t) = \frac{bV}{a+b}
\)
Menge der Stoffe in Abhängigkeit von der Zeit
- Stoff A: \(\omega(t) = - \frac{bV}{a+b}e^{-(a+b)t} + \frac{bV}{a+b}\)
- Stoff B: \(V - \omega(t) = V - \left( - \frac{bV}{a+b}e^{-(a+b)t} + \frac{bV}{a+b} \right)\)
Skizze der Funktionen
Eine detaillierte Skizze kann hier nicht gezeichnet werden, aber allgemein gilt:
- Die Kurve für \(\omega(t)\) (Stoff A) startet bei \(0\), steigt dann an und nähert sich asymptotisch dem Wert \(\frac{bV}{a+b}\).
- Die Kurve für \(V - \omega(t)\) (Stoff B) startet bei \(V\), fällt dann ab und nähert sich asymptotisch dem Wert \(V - \frac{bV}{a+b}\).
Mit fortschreitender Zeit erreicht das Volumen des Stoffes A also \(\frac{bV}{a+b}\) und das Volumen von Stoff B stabilisiert sich bei \(V - \frac{bV}{a+b}\).
