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Differentialgleichung aufstellen
Gegeben ist eine R-L-R Schaltung, deren Ziel es ist, eine Differentialgleichung (DGL) zwischen der Ausgangsspannung \(U_a(t)\) und der Eingangsspannung \(U_0(t)\) zu formulieren. Die Schaltung besteht aus einem Widerstand \(R\), einer Spule (Induktivität) \(L\), und einem weiteren Widerstand \(R\).
1. Starten wir mit dem Kirchhoffschen Maschensatz, der besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer geschlossenen Schleife null ist. Angewendet auf die gegebene Schaltung erhalten wir:
\(U_0(t) - i(t)R - L\frac{di(t)}{dt} - i(t)R = 0\)
2. Dies lässt sich umformen zu:
\(U_0(t) = 2i(t)R + L\frac{di(t)}{dt}\)
3. Da \(U_a(t)\) die Spannung über dem letzten Widerstand ist, gilt:
\(U_a(t) = i(t)R\)
4. Aus Gleichung (2) können wir \(i(t)\) bestimmen, indem wir die Gleichung nach \(i(t)\) umstellen. Dies führt jedoch zu einer komplexeren Berechnung, als notwendig, da wir direkt nach \(U_a(t)\) in Bezug auf \(U_0(t)\) suchen. Stattdessen konzentrieren wir uns darauf, \(U_a(t)\) in Bezug auf \(U_0(t)\) auszudrücken, indem wir die Systemantwort analysieren und dabei die Zeitkonstanten identifizieren.
Für die Zeitkonstante \(\tau\) in einem R-L-Circuit gilt die Beziehung:
\(\tau = \frac{L}{R_{ges}}\)
In unserem Fall, da zwei Widerstände von jeweils \(R\) in Serie geschaltet sind, ist \(R_{ges} = 2R\), daher ist:
\(\tau = \frac{L}{2R}\)
Die endgültige Differentialgleichung, die \(U_a(t)\) und \(U_0(t)\) verbindet, unter Einbeziehung der vorgesehenen Werte, würde von der spezifischen Reaktion des Systems abhängen. Da direkte Werte nicht gegeben sind, kann die präzise Form der DGL nur in allgemeiner Form angegeben werden. Eine typische solche Gleichung könnte in der Form einer inhomogenen linearen DGL erster Ordnung vorliegen, zum Beispiel:
\(\frac{dU_a(t)}{dt} + \frac{2R}{L} U_a(t) = \frac{1}{L} U_0(t)\)
Blockschaltbild entwerfen
Das Blockschaltbild soll Elemente enthalten, die die Differenzialgleichung des Systems repräsentieren. Es muss also die Beziehung zwischen \(U_0(t)\) und \(U_a(t)\) zeigen, einschließlich der Anwendung der Zeitkonstante \(\tau\).
1.
Eingangssignal - \(U_0(t)\) als das Eingangssignal des Systems.
2.
Block 1 - Repäsentiert die Umwandlung von \(U_0(t)\) in den Strom \(i(t)\) durch die Kombination von Widerständen und Induktivität. Dies könnte durch einen Block repräsentiert werden, der die Summierung und Integration der Eingangsspannung zeigt, angepasst um den Einfluss der Spule (\(L\)) und der Widerstände (\(R\)) zu veranschaulichen.
3.
Block 2 - Transformiert den Strom \(i(t)\) in die Ausgangsspannung \(U_a(t)\). Dieser Block repräsentiert den letzten Widerstand \(R\), durch den \(i(t)\) fließt, um \(U_a(t)\) zu erzeugen. Dies geschieht gemäß der Beziehung \(U_a(t) = i(t)R\).
In einem Blockdiagramm könnten wir also zwei Hauptblöcke haben: einen, der den Einfluss der Serie von \(R\) und \(L\) aufnimmt und einen weiteren, der die Transformation zum Ausgang hinüber \(R\) darstellt. Da das Blockschaltbild jedoch schematisch und nicht abgebildet ist, sollten die oben genannten Beschreibungen in einem Designprozess berücksichtigt werden, um ein korrektes Blockschaltbild zu entwerfen.
