Wie lang muss der Aluminium Stab sein damit der gesamte Stab "schwimmt"

Question

Aufgabe:

Wenn man einen Holzstab (Länge L_H, Radius R <<L_H) senkrecht ins Wasser stellt, kippt er um und schwimmt auf dem Wasser liegend. Nun wird der Stab an einem Ende (unten) mit einer Stange aus Aluminium mit demselben Radius R verlängert. Wie lange muss diese Aluminiumstange mindestens sein, damit der gesamte Stab senkrecht stehend schwimmt, und wie lange darf sie höchstens sein, damit er nicht untergeht?

Geben Sie L_Al in Relation zur Länge des Holzstabs an, also L_Al = x · L_H.

Dichten: Holz ρ_H = 680 kg/m³ , Wasser ρ_W = 1000 kg/m³, Aluminium ρ_Al = 2700 kg/m³

Problem/Ansatz:

Damit ein Gegenstand schwimmt muss die Auftriebskraft F_A so groß sein wie die Gewichtskraft F_G . 
m_Stab = m_H + m_Al = ρ_H * V_H +  ρ_Al * V_Al

F_G = m_Stab *g = (ρ_H * V_H +  ρ_Al * V_Al  ) g
Hier habe Ich den Stab als Zylinder betrachtet also V = pi * r² * h. Und auch direkt L_Al = x * L_H eingesetzt.

=>  F_G  = (ρ_H * pi * R² * L_H +  ρ_Al * pi * R² * x*L_H ) g

F_A = m_{W verdrängt} *g =  ρ_W * V_verdrängt * g

=>  V_verdrängt  = F_A / (ρ_W * g) = (ρ_H * pi * R² * L_H +  ρ_Al * pi * R² * x*L_H ) g /  (ρ_W * g)

Damit hätte Ich nun den Fall das ein Teil des Stabes taucht und zwar genau V_verdrängt viel und der Stab schwimmt.

Comments

Der Schwerpunkt muss  mindestens knapp unter der Wasseroberfläche sein .(dabei das verminderte Gewicht unter Wasser berücksichtigen.)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung des Problems

Um die Bedingungen für das Schwimmen des Kombistabs aus Holz und Aluminium zu finden, beginnen wir, indem wir zwei wichtige Prinzipien festlegen: das Archimedische Prinzip für den Auftrieb und das Prinzip, dass ein Objekt schwimmt, wenn die Auftriebskraft gleich seiner Gewichtskraft ist.

Auftriebskraft (F_A) und Gewichtskraft (F_G)

Das Archimedische Prinzip besagt, dass die Auftriebskraft auf einen Körper im Fluid gleich dem Gewicht des durch den Körper verdrängten Fluids ist. Für einen Körper, der schwimmt, muss die Auftriebskraft seiner Gewichtskraft entsprechen:

\(F_{A} = F_{G}\)

Gewichtskraft des Stabes

Die Gewichtskraft des kombinierten Stabes setzt sich aus den Gewichtskräften des Holz- und des Aluminiumteils zusammen:

\(F_{G} = m_{H}g + m_{Al}g\)

Da \(m = \rho \cdot V\), und \(V = \pi r^2 h\), können wir die Gewichtskraft als

\(F_{G} = \left( \rho_{H} \pi R^2 L_{H} + \rho_{Al} \pi R^2 xL_{H} \right)g\)

schreiben.

Auftriebskraft

\(F_{A} = m_{W\ verdrängt} g = \rho_{W} V_{verdrängt} g\)

Da \(F_{A} = F_{G}\) für ein schwimmendes Objekt, und \(V_{verdrängt}\) gleich dem Volumen des vollständig eingetauchten Teils des Stabes ist,

\(V_{verdrängt} = \pi R^2(L_{H} + xL_{H})\)

\(F_{A} = \rho_{W} \pi R^2 (L_{H} + xL_{H})g\)

Gleichsetzen von F_A und F_G

Setzen wir F_A gleich F_G, ergibt sich:

\(\rho_{W} \pi R^2 (L_{H} + xL_{H})g = \left( \rho_{H} \pi R^2 L_{H} + \rho_{Al} \pi R^2 xL_{H} \right)g\)

Teilen durch \(\pi R^2 g\) und anschließendes Umstellen liefert:

\(\rho_{W} (L_{H} + xL_{H}) = \rho_{H} L_{H} + \rho_{Al} xL_{H}\)

\(\rho_{W} L_{H} + \rho_{W} xL_{H} = \rho_{H} L_{H} + \rho_{Al} xL_{H}\)

Umstellen nach \(x\), um eine Beziehung für \(x\) zu erhalten, ergibt sich:

\(x(\rho_{W} - \rho_{Al}) = \rho_{H} - \rho_{W}\)

\(x = \frac{\rho_{H} - \rho_{W}}{\rho_{W} - \rho_{Al}}\)

Einsetzen der gegebenen Dichten liefert:

\(x = \frac{680 \text{ kg/m}^3 - 1000 \text{ kg/m}^3}{1000 \text{ kg/m}^3 - 2700 \text{ kg/m}^3}\)

\(x = \frac{-320}{-1700}\)

\(x \approx 0,188\)

Das heißt, die minimale Länge der Aluminiumstange relativ zur Holzstablänge, damit der gesamte Stab senkrecht schwimmt, beträgt ca. 0,188 \(L_{H}\).

Um zu bestimmen, wie lange die Aluminiumstange höchstens sein darf, damit der gesamte Stab nicht untergeht, muss berücksichtigt werden, dass der Stab insgesamt nicht schwerer sein darf als das Gewicht des verdrängten Wassers. Dieses Kriterium ist für den Grenzfall, dass der Stab gerade noch schwimmt, erfüllt und wird für größere Längen von Aluminium nicht erfüllt, was zu einem Untergang führt. Die Berechnung zeigt die minimale Anforderung für das Schwimmen. Generell bleibt der Stab schwimmfähig, solange das durch den kombinierten Stab verdrängte Wasservolumen dem Gewicht des Stabes entspricht oder größer ist. Da das Problem nicht auf eine maximale Länge eingeht, die unter realistischen Bedingungen das Schwimmen gewährleistet, liegt der Fokus hier auf der Ermittlung der Mindestlänge.