Trägheitsmoment an der Rolle

Question

Hallöchen, mit folgender Aufgabe habe ich ein Problem.

Aufgabe: Eine Gewicht der Masse mG = 500 g hängt an einem Seil, das um eine
Rolle gewickelt ist. Die Rolle hat die Masse mR = 1, 5kg und den Radius rR = 75 cm. Das
Trägheitsmoment der Rolle kann in guter Näherung durch das Trägheitsmoment eines
dünnen Ringes beschrieben werden. Das Gewicht fällt unter dem Einfluss der Schwerkraft
nach unten. Wie groß ist die Beschleunigung des Gewichtes?

Problem/Ansatz:
Laut Formelsammlung ist das Trägheitsmoment für die y-Richtung y=m/2*r^2 und von dort an weiß ich leider auch nicht weiter.

Das Ergebnis sollte 3,27 m/s^2 sein

Im vorhinein bedanke ich mich für eure Hilfe

Answer 1

Hallo,

Trägheitsmoment für die y-Richtung y=m/2*r²

Das Trägheitsmoment für einen Vollzylinder ist \(\frac 12 mr^2\) und für einen dünnwandigen Zylinder \(mr^2\). Hier ist von einem 'dünnen Ring' die Rede. Also ist \(I_R = mr^2\)

Du kennst sicher den Zusammenhang von Kraft \(F\) und Beschleunigung \(a\) $$F = m \cdot a$$genauso gilt für das Moment \(M\), das Trägheitsmoment \(I\) und die Winkelbeschleunigung \(\dot \omega\)$$M = I \cdot \dot \omega$$Führe jetzt eine Seilkraft \(S\) ein, dann kann man für Rolle und Gewicht schreiben$$S \cdot r = I_R \cdot \dot \omega = I_R \cdot \frac ar \\ G-S = m_G \cdot a$$Löse die erste Gleichung nach  \(S\) auf, setze es in die zweite ein und löse nach \(a\) auf$$S = I_R \cdot \frac a{r^2}  \\ m_G \cdot g -I_R \cdot \frac a{r^2} = m_G \cdot a \\ \implies a = \frac{m_G}{m_G + \frac{I_R}{r^2}} g = \frac{m_G}{m_G + m_R} g = \frac{0,5 \text{kg}}{0,5 \,\text{kg} + 1,5\,\text{kg}} g \approx 2,45 \frac{\text m}{\text s^2}$$Setzt man für die Rolle eine Scheibe (keinen Ring!) mit \(I_R= \frac 12mr^2\) so erhält man $$a = \frac{0,5}{0,5 + \frac 12 \cdot 1,5} g \approx 3,92 \frac{\text m}{\text s^2}$$ Ist bei der Rolle vielleicht noch eine Wandstärke für den Ring angegeben?

Comments

Keine Wandstärke ist angegeben, aber ich danke ihnen für den sehr guten Ansatz