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Trägheitsmoment berechnen: Falscher Titel, aber korrekte Lösung für die gestellten Fragen
Die Aufgabenstellung behandelt nicht direkt das Trägheitsmoment, sondern fragt nach der maximalen Distanz, die der Bär auf der Strebe zurücklegen kann, bevor das Seil reißt (Teil a), und die Masse, die der Bär abnehmen müsste, um das Futter zu erreichen, ohne dass das Seil reißt (Teil b). Für die Bearbeitung dieser Fragen benötigen wir Konzepte aus der Statik, insbesondere das Gleichgewicht von Drehmomenten und Kräften.
Teil a: Maximale Distanz, die der Bär gehen kann
Um zu bestimmen, wie weit der Bär gehen kann, ohne dass das Seil reißt, müssen wir das maximale Drehmoment berechnen, das das Seil aushalten kann, und dieses mit dem tatsächlichen Drehmoment vergleichen, das durch den Bären, die Strebe und die Kiste erzeugt wird.
Das maximale Drehmoment, das das Seil aushalten kann, errechnet sich aus der maximalen Kraft \(F_{\text{max}} = 2,0 \, \text{kN} = 2000 \, \text{N}\) und dem Hebelarm, der durch den Winkel \(\theta\) und die Länge der Strebe \(l\) bestimmt wird. Da uns der Hebelarm direkt nicht gegeben ist, fokussieren wir uns darauf, dass das Seil senkrecht auf der Last wirkt, wodurch der effektive Hebelarm die Länge der Strebe ist (\(l = 20 \, \text{m}\)).
Das tatsächliche Drehmoment setzt sich zusammen aus den Beiträgen durch den Bären, der Kiste und der Strebe selbst. Für die Strebe, die als homogen angenommen wird, liegt der Schwerpunkt in der Mitte (\(l / 2\)). Die Drehmomente berechnen wir mit \(D = F \cdot d\), wobei \(F\) die wirkende Kraft (Gewicht) und \(d\) der Hebelarm zur Drehachse (hier: Punkt A) ist.
1. Drehmoment durch den Bären: \(D_{\mathrm{B}} = m_{\mathrm{B}} \cdot g \cdot x\), wobei \(x\) die unbekannte Distanz ist.
2. Drehmoment durch die Kiste: \(D_m = m \cdot g \cdot l\)
3. Drehmoment durch die Strebe: \(D_M = M \cdot g \cdot \frac{l}{2}\)
Das maximale Drehmoment, das durch das Seil aufgebracht werden kann, ergibt sich zu: \(D_{\text{max}} = F_{\text{max}} \cdot l \cdot \sin(\theta)\).
Setzen wir nun die Drehmomente gleich dem maximalen Drehmoment \(D_{\text{max}}\), da dies der kritische Punkt ist, bei dem das Seil reißt.
\(m_{\mathrm{B}} \cdot g \cdot x + m \cdot g \cdot l + M \cdot g \cdot \frac{l}{2} = F_{\text{max}} \cdot l \cdot \sin(\theta)\)
Umstellen nach \(x\) gibt uns die maximale Distanz \(x\), die der Bär gehen kann:
\(x = \frac{F_{\text{max}} \cdot l \cdot \sin(\theta) - m \cdot g \cdot l - M \cdot g \cdot \frac{l}{2}}{m_{\mathrm{B}} \cdot g}\)
Setzen wir nun die gegebenen Werte ein:
\(
x = \frac{2000 \cdot 20 \cdot \sin(60^{\circ}) - 20 \cdot 9.81 \cdot 20 - 50 \cdot 9.81 \cdot 10}{160 \cdot 9.81}
\)
\(
x = \frac{2000 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 20 \cdot 9.81 \cdot 20 - 50 \cdot 9.81 \cdot 10}{160 \cdot 9.81}
\)
\(
x = \frac{34641 - 3924 - 4905}{1569.6} \approx \frac{25812}{1569.6} \approx 16.45 \, \text{m}
\)
Der Bär kann also etwa 16.45 Meter gehen, bevor das Seil reißt.
Teil b: Gewichtsabnahme des Bären
Um zu berechnen, wie viel der Bär abnehmen muss, um das Futter zu erreichen, ohne dass das Seil reißt, setzen wir \(x = l = 20 \, \text{m}\) und lösen die Gleichung nach \(m_{\mathrm{B}}\) auf.
\(m_{\mathrm{B}} = \frac{F_{\text{max}} \cdot l \cdot \sin(\theta) - m \cdot g \cdot l - M \cdot g \cdot \frac{l}{2}}{g \cdot l}\)
Dies gibt uns die neue Masse \(m_{\mathrm{B}}'\) des Bären, die er haben müsste, um das Seil nicht zu überlasten. Die Gewichtsabnahme ist dann \(m_{\mathrm{B}} - m_{\mathrm{B}}'\).
\(
m_{\mathrm{B}}' = \frac{2000 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 20 \cdot 9.81 \cdot 20 - 50 \cdot 9.81 \cdot 10}{9.81 \cdot 20}
\)
\(
m_{\mathrm{B}}' = \frac{25812}{196.2} \approx 131.57 \, \text{kg}
\)
Die Gewichtsabnahme, die erforderlich ist, beträgt \(160 \, \mathrm{kg} - 131.57 \, \mathrm{kg} \approx 28.43 \, \mathrm{kg}\).
Zusammenfassend:
-
Teil a: Der Bär kann etwa
16.45 Meter gehen, bevor das Seil reißt.
-
Teil b: Der Bär muss etwa
28.43 kg abnehmen, um das Futter erreichen zu können, ohne dass das Seil reißt.
