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Hallo. ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Gummiball senkrecht nach unten auf den 1,2 m tiefer liegenden Boden geworfen werden, wenn er dort ca. 20 % seiner Geschwindigkeit verliert und doch gerade seine Ausgangshöhe wieder erreicht?


Problem/Ansatz: Das Ergebnis soll 3,6 m/s sein und mit meiner Vorgehensweise komme ich auch auf das Ergebnis, nur bin ich mir über meine Vorgehensweise unsicher.
Ich habe es über den Energieerhaltungssatz probiert, aber dabei die Höhe weggelassen bzw gekürzt, weil man die Ausgangshöhe erreichen soll.

Werte: h(anfang)=1,2m ; h(ende)=1,2m ; g=9,81 bzw. 10 m/s^2

Also Ekin = Epot  bzw. 0,5*m*v2 = m*g*h nach v aufgelöst v=sqrt(2g) und das mit 4/5 multipliziert, weil der Ball nach dem Bodenkontakt mit 80% der Anfangsgeschwindkeit nach oben "fliegt".


Für eure Hilfe bzw Korrektur wäre ich dankbar

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Hallo.

\(E_{kin}=E_{pot}\)   bzw. \(0,5\cdot m\cdot v^{2} = m\cdot g\cdot h \) das ist richtig. \(v \ne \sqrt{2g}\) - das ist nicht gleich, da die Wurzel aus einer Beschleunigung keine Geschwindigkeit sein kann. Du kannst die Höhe nicht einfach weglassen.

Für die Anfangsgeschwindigkeit \(v_2\), mit der der Ball nach oben fliegen soll, bekommt man nach obiger Gleichung $$v_2 = \sqrt{2gh}$$Seine Aufprallgeschwindigkeit \(v_1\) ist dann $$v_2 = v_1 - 20\% = \frac 45 v_1\implies v_1 = \frac 54 v_2 $$Jetzt stellen wir noch den Energieerhaltungssatz für den Weg nach unten auf. Der Ball habe eine Anfangsgeschwindigkeit von \(v_0\), dann ist $$mgh + \frac 12 m v_0^2 = \frac 12 m v_1^2 \\ \implies v_0 = \sqrt{v_1^2 - 2gh} = \sqrt{\left( \frac 54 v_2\right)^2 - 2gh} = \sqrt{\left( \frac 54 \sqrt{2gh}\right)^2 - 2gh} = \frac 34 \sqrt{2gh} \\ \quad \approx 3,64 \frac{\text m}{\text s}$$wie Du siehst wird die Geschwindigkeit \(v_0\) mit der Höhe \(h\) größer. Das macht auch Sinn, da auch der Anteil, den der Ball beim Aufkommen verliert, mit wachsender Höhe immer größer wird.

Gruß Werner

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hey Werner :) deine Erklärung hat mir sehr geholfen.Hatte mit der selben aufgabe zu kämpfen.Jedoch habe ich nicht verstanden warum du für V1 V2 mit 5/4 multiplizierst.Bin etwas verwirrt deshalb.Man kann die Wurzel nicht ziehen , weil sie negativ ist.Ich habe auch nicht verstanden wie du auf die 3/4 gekommen bist.Und meine letzte frage wäre ist die anfangsgeschwindigkeit immer die kinetische Aufprallgeschwindigkeit mit der potentiellen.Aktuell haben bei uns die Hochschulen noch geschlossen und ich kann keinen nach antworten fragen :)

Jedoch habe ich nicht verstanden warum du für V1 V2 mit 5/4 multiplizierst.

\(v_1\) ist die Geschwindigkeit, mit der der Ball auf den Boden aufprallt. Und \(v_2\) ist die Geschwindigkeit, mit der vom Boden reflektiert wird.

Lt. Aufgabenstellung soll er dabei 20% seiner Geschwindigkeit verlieren - 20% sind 1/5 Verlust; d.h. 80% bzw. 4/5 der Geschwindigkeit bleiben nach dem Aufprall in \(v_2\) erhalten. Folglich ist$$v_2 = \frac 45 v_1 \quad \Leftrightarrow \quad v_1 = \frac 54 v_2$$

Man kann die Wurzel nicht ziehen , weil sie negativ ist

Die Wurzel ist nicht negativ. \(v_0\) ist die Geschwindigkeit mit der der Ball aus einer Höhe \(h\) nach unten geworfen wird. Und mit $$v_0 = \sqrt{v_1^2 - 2gh} = \sqrt{v_1^2 - v_2^2}\,, \quad \text{da} \space v_2 = \sqrt{2gh}$$ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv, da \(v_1 \gt v_2\).

Ich habe auch nicht verstanden wie du auf die 3/4 gekommen bist.

Rechne nach: $$ \begin{aligned} v_0 &= \sqrt{v_1^2 - 2gh} \\&= \sqrt{\left( \frac 54 v_2\right)^2 - 2gh} \\ &= \sqrt{\left( \frac 54 \sqrt{2gh}\right)^2 - 2gh}\\&= \sqrt{\frac{25}{16}\cdot (2gh) - 2gh } \\&= \sqrt{\left( \frac{25}{16} - 1\right) \cdot 2gh } \\&= \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 2gh} \\&= \frac 34 \sqrt{2gh} \end{aligned} $$

Und meine letzte Frage wäre: ist die anfangsgeschwindigkeit immer die kinetische Aufprallgeschwindigkeit mit der potentiellen?

das ist irgendwie kein sinnvoller Satz!?

Soviel dazu: Die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) ist natürlich kleiner (als ungleich) der Aufprallgeschwindigkeit \(v_1\), da der Ball im Fallen Geschwindigkeit hinzu gewinnt.

Ansonsten gilt immer der Energieerhaltungssatz: Unter Vernachlässigung von Energieverlusten im Fallen (i.A. durch den Luftwiderstand) ist die Energie \(E_1\) in Höhe \(h\)

$$E_0 = mgh + \frac 12mv_0^2$$ genauso groß wie die Energie \(E_1\) beim Aufprall $$E_1 = \frac 12 mv_1^2$$ Energieerhaltung: $$ \begin{aligned} E_0 &= E_1 \\ mgh + \frac 12mv_0^2 &= \frac 12 mv_1^2 \end{aligned} $$

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