Durchhang eines dehnstarren Seils berechnen

Question

Hi, versuche seit Stunden die Aufgabe zu lösen:

Ein dehnstarres Seil der Länge a (505m) mit konstantem Gewicht  q (50g/m) und konstantem Querschnitt wird zwischen zwei bekannten (gleichhohen) Punkten des Abstandes l (500m) aufgehängt. Wie groß ist der Durchhang y in Abhängigkeit von x?

---

Duplikat: "Seil unter Eigengewicht und Belastung"

Ein Seil mit bekanntem Eigengewicht q wird zwischen zwei gleich hohen Punkten  A und B aufgehängt.
Der Abstand w zwischen A und B ist bekannt;
Die Länge des Seils l ist bekannt und es gilt l>w;
Eine bekannte Masse m wird auf dem Seil von x= 0 bis x= 500 bewegt.
Gescuht ist die Funktionsgleichung und der Graph der Funktion y = f(x) die die temporäre Höhe y der Masse m über den weg x Darstellt.

Beispielswerte: q= 50g/m
                             w= 500m
                             l= 505m
                             m= 50kg

Hinweis: Das Eigengewicht des Seils ist bei dieser Länge und einer derart kleinen Masse m NICHT vernachlässigbar.

Comments

Ich denke da gehtst du von der Falschen Annahme aus. Das wäre ein Seil was nur Punktuell mit einer Masse belastet wird.

In den Tags steht der Hinweis Kettenlinie. Damit ist hier wohl mit dem COSH(x) zu rechnen.

---

Danke Der_mathecoach.. darum geht es! Keine Einzelbelastung; einzige Belastung ist das Eigengewicht 50 g/m .. aber Wie genau lautet die Formel dieser Kettenlinie? Kann ich selbst nicht herleiten ..

---

Du hast recht, habe die Antwort gelöscht!

---

EDIT: Tipp: Zumindest während deiner Bearbeitungszeit kannst du deine Antwort in einen Kommentar umwandeln. (Die Frage erscheint dann wieder bei den offenen Fragen). Löschen geht leider nicht, es sei denn,du bringst 2 Mitglieder dazu deine Antwort zu "melden".   

---

Lektüre zum Lesen:

http://www.mathe-seiten.de/kettenlinie.pdf

Answer 1

Alles was du zur Beantwortung der Frage braust findest du unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenlinie_(Mathematik)

Comments

Danke für die Korrektur, ich gehe davon aus, dass die Punkte zurückgezogen werden.

---

Habe ich natürlich schon gelesen; Wenn du unter dem Beispiel schaust, da lässt sich die länge l in abhängigkeit des Krümmungsradiusses a und des Abstandes w berechnen;
l = 2a sinh (w/2a)
in der nächsten zeile taucht dann auf:

b/h = cosh (w/2a)
b= h+a

ich verstehe nur nicht für was b steht :(

---

l = 2·a·SINH(w/(2·a)) --> a = 1022

b/a = COSH(w/(2·a)) --> b = 1053

b = h + a --> h = 31 m

---

b = h + a 

Das ist nur ein Eingeführter Parameter, der das Rechnen erleichtert.

Man hätte auch sagen können

(a + h)/a = COSH(w/(2·a))

1 + h/a = COSH(w/(2·a))

---

Dickes Danke !!!!!! hat schon fast bis zum ende weitergeholfen :)
 nur noch eine letzte blöde frage:

wie löst man l = 2a sinh (w/(2a)) nach a auf?

---

Das steht auch auf der Seite von Wikipedia:

"Diese Beziehung legt a in Abhängigkeit von w und l eindeutig fest. Da man keinen geschlossenen Ausdruck für a angeben kann, muss der Wert mit einem numerischen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen approximativ berechnet werden."

Lesen bildet also :)

---

Erneut kann ich dir versichern dass ich die Wikipedia Seite gelesen habe. Wenn man diese Gleichung nicht umstellen kann, WIE bist du dann auf den Zahlenwert 1022 gekommen????

---

Man darf ein numerisches Näherungsverfahren zur Lösung verwenden. Das kann eine Wertetabelle sein oder auch das Newtonverfahren. Eine Wertetabelle hilft zu Anfang immer, da man auch fürs Newtonverfahren eventuell einen geeigneten Startwert braucht. 

Mein Taschenrechner (Casio fx991de) hat das Newtonverfahren einprogrammiert, sodass man solche Sachen recht einfach numerisch lösen kann.

In diesem Fall hätte aber eine Wertetabelle gereicht.

---

Da aber die Frage lautet: Wie groß ist der Durchhang y in Abhängigkeit von x?
Bleibt mir nichts anderes übrig als den radius a an verschiedenen stellen per Taschenrechner auszurechnen, anschließend eine Tabelle zu erstellen und den durchhang an diesen stellen auszurechnen und auf basis von dieser Tabelle einen Graph zu plotten?
Gibt es da keine elegantere Art und weise den Durchhang zu plotten?  

---

Du kannst natürlich die Funktion zeichnen lassen wenn du das a ausgerechnet hast.

Es würde auch langen wenn du die Funktion y(x) für den Durchhang aufstellst. Das was ich oben berechnet habe ist der maximale Durchhang h.

y = 1022·COSH(x/1022) - 1022·COSH(250/1022)

Ein Durchhang wird hier als negative Zahl errechnet.

---

Bzw weitere Fragen: Wie berechne ich den Krümmungsradius a zum Beispiel an der stelle x= 1/3 l ; also bei l = 500/3 = ca. 166,67 [m]

---

Bitte verrate mir wie du auf diese Formel y = 1022 cosj(x/1022) - 1022 cosh (250/1022) gekommen bist

---

y = 1022·COSH(x/1022)

wäre die Funktionsgleichung des Seils. Nun muss ich es so normieren das ich in den Aufhängepunkten die Nullstellen habe. D.h. ich schaue mir die Funktionswerte in den Aufhängepunkten ab und ziehe diese dann einfach ab.

Für den Krümmungsradius gibt es eine Formel

https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmungskreis

---

Alles klar der erste Teil der Aufgabe ist gelöst, ich glaube du hast noch eine Kleinigkeit vergessen: die verschiebeung in x richtung um die halbe Länge des Abstandes der zwei punkte; nur der vollständigkeit halber falls das hier eines Tages noch gelesen werden sollte:

Angabe:
Abstand zweier Punkte: w (500m); Seillänge: l (505m); Gesucht: funktion des seils unter eigengewicht;

aus l= 2a*sinh(w/(2a))  numerisch den Krümmungsradius a der Kettenlinie bei maximalem Durchhang ermitteln (in diesem Fall a=ca. 1022,14m) ;

weiter gilt:

y (x) = a* cosh ((x - x0) /a) - y0        

mit x0 = 1/2w (also 250m)
und y0 = a*cosh((w/2)/a)  (also 1052,82m) 


 

---

"die verschiebeung in x richtung um die halbe Länge des Abstandes der zwei punkte; nur der vollständigkeit halber falls das hier eines Tages noch gelesen werden sollte:"

Du bist in der Wahl des x frei, wenn es nicht angegeben ist. Also ist x = 0 bei mir definiert als die Mitte zwischen den Aufhängepunkten. 

Solange es vom Lehrer nicht fest vorgegeben ist bleibt es dir überlassen. 

Du erinnerst dich vielleicht auch das Parabeln auf symmetrisch zur y-Achse modelliert werden. Also ohne eine Verschiebung nach rechts oder links. Das macht man einfach weil du die freie Wahl des Koordinatensystems hast.

---

Danke für die bisherige Hilfe;

Die Aufgabe geht weiter: ein Gewicht g (50kg) wird auf dem Seil von x = 0 bis x= 500 bewegt; das eigengewicht des seils: q= 50g/m soll nicht vernachlässigt werden. Gesucht ist wieder die funktion y= f(x) die die Bahn beschreibt die von der Masse ausgeführt wird. 

Danke @der_mathecoach, den letzten artikel habe ich ebenso bereits gelesen, genauso wie zahlreiche Artikel der tu Berlin zum Thema Kettenline, Tragwerke, Brückenbau usw.. Leider bin ich trotzdem noch nicht auf ein sauberes Ergebnis gekommen 

Wäre superposition von 2 Fällen: massenloses seil unter last sowe seil unter eigenlast eventuell ein Ansatz? 

---

Da ich im Internet keine Formeln finde würde ich dafür auch von Hand einen Energetischen Ansatz probieren. Also quasi der Ansatz für die Kettenlinie nur das dieses mal das Seit an einer Stelle x mit einem zusätzlichen Gewicht m belastet wird.

Es kann dafür hilfreich sein die Herleitung für das Seil unter Eigenlast auch selber nochmals nachzurechnen und nicht nur die Formeln anzuwenden.

Es ist auch hilfreich eventuell die Herleitung der Formel für die Brücken nachzuvollziehen. Hier hast man ein (fast) gleichmäßig belastetes Seil. Daher ergibt sich dort ja auch nicht mehr die Kettenlienie sondern eher ein parabelförmiges Durchhängeverhaltens des Seils.