Seilkräfte berechnen

Question

Eine Leuchte mit der Masse von 60 kg soll an der Decke mit einem Deckenhaken befestigt werden. Die runde Leuchte mit einem Durchmesser von 1,2 m wird an 4 Seilen aufgehängt, die außen an der Leuchte befestigt sind und schräg zum Deckenhaken verlaufen. Der Abstand zwischen Decke und Leuchte beträgt 1,5 m.
Berechnen Sie die Kräfte in den Seilen und die senkrecht Zugkraft auf den Deckenhaken.

Hallo zusammen,

ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Die Senkrechte Kraft Fs ist kein Problem F=m*g = 60kg * 9,81N/kg = 589,2N
wie bekomme ich jetzt die Seilkraft ausgerechnet. Mein Ansatz ist Fs/4 und dann irgendwie mit dem Winkel....
Der Winkel zwischen Fs und Seil sollte 38,66 betragen. 
Ich weiss leider nicht mehr weiter.

Danke im Voraus.  

Answer 1

Sei \(\displaystyle\alpha\) der Winkel zwischen der vertikalen Verlängerung des Deckenhakens und dem Seil.

Es gilt \(\displaystyle\alpha=\arctan\left(\frac{0,6m}{1,5m}\right)=21,8°\).

Die Summe der Kraftkomponenten muss 0 ergeben: \( \displaystyle \sum\limits_iF_{S,x,i} = 0,\sum\limits_iF_{S,y,i}=0, \sum\limits_iF_{S,z,i}-F_G=0\).

Ich verwende hierfür das normale kartesische Koordinatensystem.

Für die x- und y-Komponente ist es aufgrund der Symmetrie bereits erfüllt.

Als Gleichung ergibt das nun \(\displaystyle F_{S,z,1}+F_{S,z,2}+F_{S,z,3}+F_{S,z,4}-F_G=0\).

(Das Minus folgt aus der Richtung der Kraftwirkung.)

Aufgrund der Symmetrie ist jetzt auch \(\displaystyle F_{S,z,1}=F_{S,z,2}=F_{S,z,3}=F_{S,z,4}\).

Zudem gilt für die z-Komponente der Seilkräfte \(\displaystyle F_{S,z}=F_S\cdot\cos\alpha\).

Es folgt \(\displaystyle 4F_{S,z,1}-F_G=4F_S\cdot\cos\alpha-F_G=0\).

Also \(\displaystyle F_S=\frac{F_G}{4\cos\alpha}=\frac{m\cdot g}{4\cos\alpha}=158,5N\) für jedes Seil.