Gleichmäßig negativ beschleunigte Bewegung mit Hindernis

Question

Aufgabe:

Ein Auto fährt mit 50 km/h. Plötzlich taucht in 32 m Entfernung ein Hindernis auf und der Fahrer führt eine Vollbremsung durch. Die Zeit vom Erkennen des Hindernisses bis zum Beginn der Vollbremsung beträgt 1 s. Das Auto kommt genau vor dem Hindernis zum stehen.
Das gleiche Auto kommt mit 70 km/h in dieselbe Situation. Welche Geschwindigkeit hat es am Hindernis?

Hallo alle zusammen,

wer könnte mir helfen? Die Frage wurde bereits am 19.11.2018 von "Ime" bzw. dem Schüler Musubivam gestellt und am 20.11.2018 von "Lu" beantwortet, komme aber leider trotzdem nicht zurecht.

Für das Auto mit 50 km/h habe ich eine Zeit t= 2,6 s bis zum Stillstand am Hindernis errechnet. Dabei habe ich die mittlere Geschwindigkeit genommen, also 25 km/h und die 18,1 m für den eigentlichen Bremsvorgang. Das ergibt eine negative Beschleunigung von a = - 5,337 m/s².

Das Auto mit den 70 km/h trifft auf diesselbe Situation (32 m, gleiche negative Beschleunigung), gebremst bis zu Hindernis aber jetzt nur 12,56 m. Aber welche Geschwindigkeit hat dieses Auto nun noch am Hinternis? Wie berechnet man das?

Ich lese auch in der damaligen Antwort von "Sachverständiger" die bekannte Formel s = 0,5 a t² , aber das ist doch keine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Es ist doch hier v ~ t und nicht v ~ t²

Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn mir jemand die Aufgabe vorrechnen könnte, möglichst mit kurzen Erläuterungen der Lösungsschritte und der gesuchten Geschwindigkeit des 70 km/h-Autos am Hindernis.
Vielen Dank im Voraus
Tino Rubner

Answer 1

\(\displaystyle v_0=70\frac{km}h=19,4\frac ms\)
Das bedeutet, dass in der ersten Sekunde 19,4m zurückgelegt werden. Die restliche Strecke bis zum Hindernis beträgt somit 32m-19,4m=12,6m.
\(\displaystyle s=\frac12at^2+v_0t=12,6m\Rightarrow t=-\frac{v_0}a\pm\sqrt{(\frac{v_0}{a})^2+\frac{2s}a}=0,72s\)
(Du bekommst hier noch eine andere Lösung von 6,55s, die ist aber hier vernachlässigbar. Diese beschreibt die Zeit, wenn das Auto zum Stillstand kam und dann rückwärts das Hindernis erneut erreicht.)
Die Geschwindigkeit am Hindernis ist \(\displaystyle v=at+v_0=15,56\frac ms=56\frac{km}h\). Hier hast du auch den Zusammenhang v~t.

Comments

Hallo drfhfhn, da ich immer noch nicht einsehe, warum bei der Rechnung das Quadrat von t eine Rolle spielt und mir die Geschwindigkeit am Hindernis etwas hoch vorkommt, habe ich das mal rein mathematisch versucht zu lösen, also mit den Regeln der linearen Funktionen. Ich hänge Ihnen die Rechnung als Datei mal an. Was ist Ihre Meinung?

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Es gilt \(\displaystyle s(t)=\frac12at^2+v_0t+s_0\) (Herleitung siehe unten). Es ist also \(\displaystyle s\sim t^2+t\) und nicht \(\displaystyle v\sim t^2+t\)! Zudem hängt die Geschwindigkeit nicht vom Weg ab sondern von der Zeit, da \(\displaystyle v(t)=at+v_0\). Somit ist v~t und \(\displaystyle v=v(t)\neq v(s)\).

Herleitung: \(\displaystyle \ddot s(t)=\dot v(t)=a=konst.\)
\(\displaystyle\Rightarrow\dot s(t)=v(t)=\int adt=at+C\)
Wähle C als \(\displaystyle v_0\Rightarrow\dot s(t)=v(t)=\int adt=at+v_0\)
\(\displaystyle\Rightarrow s(t)=\int v(t)dt=\int(at+v_0)dt=\frac12at^2+v_0t+D\)
Wähle D als \(\displaystyle s_0\Rightarrow s(t)=\frac12at^2+v_0t+s_0\)

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nochmals danke!

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@drf...

Die Beschleunigung (Bremsverzögerung)  a ≈ - 5,33 m/s² muss man doch wohl aus der "50 km/h - Bremsung" erst einmal berechnen.

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Das hat der Fragesteller bereits getan, von daher war das nicht das Problem an der Aufgabe, sondern der 70 km/h Teil, wie auch in der Frage steht. Nach kurzer Überprüfung kam ich auch auf diese Beschleunigung.

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Sorry, ziehe meinen Einwand mit Bedauern zurück!

Aber

v = a·t + v₀

Hier hast du auch den Zusammenhang v~t

ist wohl nicht richtig.

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Das stimmt. Wie kann man das korrekt schreiben? v~t+\(v_0\)? Ich verwende Proportionalitäten sonst nie.