Situation:
Ich verstehe in der Theorieabhandlung des eindimensionalen elastischen zentralen Stosses die Umformungen der Gleichungen nicht.
Vor dem Stoss:
Eine Kugel \(m_1\) fliegt auf eine andere zu, dabei bewegt sie sich mit der Geschwindigkeit \(v_1\) und die Kugel \(m_2\) die getroffen wird ruht \((v2=0)\) vor dem Stoss,
Nach dem Stoss:
Die Masse \(m_1\) bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(u_1\),
die Masse \(m_2\) mit der Geschwindigkeit \(u_2\) weiter.
Nun zitiere ich den Text:
Es gelten Impuls- und Energieerhaltung:$$\begin{aligned} m_{1} v_{1}+0 &=m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2} \\ \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}+0 &=\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} \end{aligned}$$
(Ab hier verstehe ich nicht was passiert.)
Wir lösen das System von zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten \(u_1,u_2\) durch Elimination von \(u_1\) nach \(u_2\) auf: $$\begin{aligned} m_{1} u_{1} &=m_{1} v_{1}-m_{2} u_{2} \\ \Rightarrow \quad m_{1} m_{2} u_{2}^{2} &=m_{1}^{2} v_{1}^{2}-m_{1}^{2} u_{1}^{2} \\ &=m_{1}^{2} v_{1}^{2}-\left(m_{1} v_{1}-m_{2} u_{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow \quad u_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)-2 m_{1} v_{1} u_{2} &=0 \end{aligned}$$
(Ab hier verstehe ich es wieder)
Danach sagt der Text, dass es zwei Lösungen gibt. wobei die zweitze \(u_2 = 0\) besagt dass das 1. Teilchen ohne Wechselwirkung durch das 2. Teilchen hindurchfliegt.. Wir berechnen \(u_1\) durch Einsetzen von \(u_2\) in Gleichung:$$m_{1} u_{1}=m_{1} v_{1}-m_{2} u_{2}.$$
Und erhalten: $$\begin{array}{ll}{u_{2}=2 \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1}} & {u_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1}} \\ {u_{2}=0} & {u_{1}=v_{1}}\end{array}$$
Frage:
Kann mir jemand erklären oder zeigen wie die Umformungen in diesem Bereich wo ich es nicht mehr Verstehe zustande kommen? Insbesondere interessiert es mich, wie die letzte Gleichung in diesem Unklaren Bereich von mir zustande kommt.
Ich selber habe es mehrmals versucht aber komme nicht weiter.
