Coulomb Eichung des konstanten Feldes

Question

Aufgabe:

Im Inneren einer langen Spule herrscht ein nährungsweise konstantes Feld

B =  μ₀ * (n / l) * I₀ *e_z = B_z * e_z

Bestimmen Sie das Vektorpotential für diesen Fall in der Coulomb-Eichung (d.h. ∇ A = 0 ) so ,dass

a) A_x = 0 und ∇ A = 0
b) | A _y | = | A _x | und  ∇ A = 0

Answer 1

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Titel der Frage: Coulomb Eichung des konstanten Feldes

Um das Vektorpotential $\vec{A}$ für ein konstantes Magnetfeld $\vec{B}$ in der Coulomb-Eichung zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor. Gegeben ist das Magnetfeld innerhalb einer langen Spule als:

$\vec{B} = \mu_{0} \cdot \left(\frac{n}{l}\right) \cdot I_{0} \cdot \vec{e}_{z} = B_{z} \cdot \vec{e}_{z}$

Das Vektorpotential $\vec{A}$ ist mit dem Magnetfeld über die Beziehung $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ verbunden. Die Coulomb-Eichung wird durch $\nabla \cdot \vec{A} = 0$ festgelegt.

a) $A_{x} = 0$ und $\nabla \cdot \vec{A} = 0$:

Da $B_{z}$ die einzige nicht-verschwindende Komponente des Magnetfeldes ist und in der $z$-Richtung konstant ist, können wir annehmen, dass das Vektorpotential $\vec{A}$ keine $z$-Komponente hat, weil eine Änderung in der $z$-Richtung nicht benötigt wird, um die $z$-Komponente von $B$ zu erzeugen. Daher setzt sich $\vec{A}$ nur aus $A_{x}$ und $A_{y}$ zusammen. Wenn $A_{x} = 0$, muss $\vec{A}$ eine Form von $A_{y}$ haben, um $B_{z}$ zu erzeugen.

Da $\vec{B}$ nur eine $z$-Komponente hat, ergibt die Beziehung $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$,

$B_{z} = \frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y} = \frac{\partial A_{y}}{\partial x}$

weil $A_{x} = 0$ und es gibt keine Variation in der $z$-Richtung. Um sicherzustellen, dass $\nabla \cdot \vec{A} = 0$, wählen wir $A_{y}$ so, dass es nicht von $y$ abhängt (keine $y$-Abhängigkeit), weil $A_{x} = 0$. Das führt zu:

$A_{y}(x) = \frac{B_{z}}{\mu_{0}} \cdot x + C$

b) $|A_{y}| = |A_{x}|$ und $\nabla \cdot \vec{A} = 0$:

Für diese Bedingung müssen $A_{x}$ und $A_{y}$ so gewählt werden, dass ihre Beträge gleich sind und gleichzeitig $\nabla \cdot \vec{A} = 0$. Da $B_{z}$ nur von der $z$-Komponente des magnetischen Feldes abhängt, müssen $A_{x}$ und $A_{y}$ so gestaltet sein, dass ihre Rotation $B_{z}$ ergibt. Wenn $|A_{y}| = |A_{x}|$, könnte eine mögliche Konfiguration sein, dass beide linear mit $x$ oder $y$ variieren, um $B_{z}$ als Ergebnis der Rotation zu liefern.

Das erfordert jedoch eine feinere Analyse, da die direkte Implementierung dieser Bedingung komplex sein kann. Die Erhaltung der Coulomb-Eichung ($\nabla \cdot \vec{A} = 0$) zusammen mit $|A_{y}| = |A_{x}|$ legt strenge Bedingungen auf die Form von $\vec{A}$, die nicht sofort offensichtlich sind, ohne spezifische Annahmen über die Abhängigkeit von $\vec{A}$ von den Koordinaten zu machen.

Eine mögliche Annäherung könnte sein, eine symmetrische Situation in $x$ und $y$ zu betrachten, wobei $A_{x} = f(y)$ und $A_{y} = f(x)$, um Symmetrie zwischen den Komponenten unter Beibehaltung von $\nabla \cdot \vec{A} = 0$ zu wahren. Dies wäre aber nur eine spekulative Annäherung und ohne eine spezifische Funktion $f$, die auf die Bedingungen zugeschnitten ist, ist eine explizite Lösung kompliziert.

Zusammenfassend ist Teil b) ohne zusätzliche Informationen über die funktionale Form von $A_{x}$ und $A_{y}$ oder spezifischere Anforderungen an das physikalische Setup schwierig genau zu behandeln. Generell müsste man symmetrische Lösungen in $x$ und $y$ verfolgen, die die Gleichheit von $|A_{x}|$ und $|A_{y}|$ und die Coulomb-Eichung erfüllen.