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Titel der Frage: Coulomb Eichung des konstanten Feldes
Um das Vektorpotential \( \vec{A} \) für ein konstantes Magnetfeld \( \vec{B} \) in der Coulomb-Eichung zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor. Gegeben ist das Magnetfeld innerhalb einer langen Spule als:
\( \vec{B} = \mu_{0} \cdot \left(\frac{n}{l}\right) \cdot I_{0} \cdot \vec{e}_{z} = B_{z} \cdot \vec{e}_{z} \)
Das Vektorpotential \( \vec{A} \) ist mit dem Magnetfeld über die Beziehung \( \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \) verbunden. Die Coulomb-Eichung wird durch \( \nabla \cdot \vec{A} = 0 \) festgelegt.
a) \(A_{x} = 0\) und \(\nabla \cdot \vec{A} = 0\):
Da \(B_{z}\) die einzige nicht-verschwindende Komponente des Magnetfeldes ist und in der \(z\)-Richtung konstant ist, können wir annehmen, dass das Vektorpotential \( \vec{A} \) keine \(z\)-Komponente hat, weil eine Änderung in der \(z\)-Richtung nicht benötigt wird, um die \(z\)-Komponente von \(B\) zu erzeugen. Daher setzt sich \( \vec{A} \) nur aus \(A_{x}\) und \(A_{y}\) zusammen. Wenn \(A_{x} = 0\), muss \( \vec{A} \) eine Form von \(A_{y}\) haben, um \(B_{z}\) zu erzeugen.
Da \( \vec{B} \) nur eine \(z\)-Komponente hat, ergibt die Beziehung \( \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \),
\( B_{z} = \frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y} = \frac{\partial A_{y}}{\partial x} \)
weil \(A_{x} = 0\) und es gibt keine Variation in der \(z\)-Richtung. Um sicherzustellen, dass \( \nabla \cdot \vec{A} = 0 \), wählen wir \(A_{y}\) so, dass es nicht von \(y\) abhängt (keine \(y\)-Abhängigkeit), weil \(A_{x} = 0\). Das führt zu:
\( A_{y}(x) = \frac{B_{z}}{\mu_{0}} \cdot x + C \)
b) \(|A_{y}| = |A_{x}|\) und \(\nabla \cdot \vec{A} = 0\):
Für diese Bedingung müssen \(A_{x}\) und \(A_{y}\) so gewählt werden, dass ihre Beträge gleich sind und gleichzeitig \( \nabla \cdot \vec{A} = 0 \). Da \(B_{z}\) nur von der \(z\)-Komponente des magnetischen Feldes abhängt, müssen \(A_{x}\) und \(A_{y}\) so gestaltet sein, dass ihre Rotation \(B_{z}\) ergibt. Wenn \(|A_{y}| = |A_{x}|\), könnte eine mögliche Konfiguration sein, dass beide linear mit \(x\) oder \(y\) variieren, um \(B_{z}\) als Ergebnis der Rotation zu liefern.
Das erfordert jedoch eine feinere Analyse, da die direkte Implementierung dieser Bedingung komplex sein kann. Die Erhaltung der Coulomb-Eichung (\(\nabla \cdot \vec{A} = 0\)) zusammen mit \(|A_{y}| = |A_{x}|\) legt strenge Bedingungen auf die Form von \( \vec{A} \), die nicht sofort offensichtlich sind, ohne spezifische Annahmen über die Abhängigkeit von \( \vec{A} \) von den Koordinaten zu machen.
Eine mögliche Annäherung könnte sein, eine symmetrische Situation in \(x\) und \(y\) zu betrachten, wobei \(A_{x} = f(y)\) und \(A_{y} = f(x)\), um Symmetrie zwischen den Komponenten unter Beibehaltung von \( \nabla \cdot \vec{A} = 0 \) zu wahren. Dies wäre aber nur eine spekulative Annäherung und ohne eine spezifische Funktion \(f\), die auf die Bedingungen zugeschnitten ist, ist eine explizite Lösung kompliziert.
Zusammenfassend ist Teil b) ohne zusätzliche Informationen über die funktionale Form von \(A_{x}\) und \(A_{y}\) oder spezifischere Anforderungen an das physikalische Setup schwierig genau zu behandeln. Generell müsste man symmetrische Lösungen in \(x\) und \(y\) verfolgen, die die Gleichheit von \(|A_{x}|\) und \(|A_{y}|\) und die Coulomb-Eichung erfüllen.
