Bestimmung des Mittelwertes einer Spannung mit Hilfe der Integralrechnung.

Question

ich schreibe direkt nach den Ferien eine Klausur in Mathe über Integralrechnung und habe noch einige Probleme mit dem Thema. Wir haben Übungsblätter erhalten und die meisten Aufgaben konnte ich alleine lösen, aber bei einer Aufgabe brauche ich dringend Hilfe. Die Aufgabe sieht wie folgt aus:

Eine Schaltung, in der ein Kondensator (C=100μF) und ein ohmscher Widerstand (R=20Ω) in Reihe geschaltet sind, wird mit einer Rechteckspannung betrieben.

Dabei wird am Kondensator ein Spannungsabfall registriert. (siehe Darstellung)

Nicht die beste Zeichnung, aber ich hoffe ihr seht in der Zeichnung mehr als ich^^.

Aufgaben:

1. Leiten Sie grafisch und analytisch die notwendige Funktion u(t) = u0*(1-e^-t/τ) aus der Funktion f(t) = e^-t/τ her.

2. Berechnen Sie den Mittelwert U_RMS mit Hilfe der Integralrechnung.

Und bei diesen Aufgaben bin ich überfragt. Der Lehrer meinte, das sei voll leicht, aber das glaube ich ihm nicht^^. Für die zweite Aufgabe hat er uns immerhin eine Lösung vorgegeben U_RMS= 5,93V. Ich hoffe es kann mir jemand von euch helfen die Aufgaben zu lösen.

Answer 1

Die Zeitkonstante des RC-Gliedes hast Du ?
Die Volladung wird in der Praxis bei 5 tau angenommen.
Kann man davon ausgehen in dieser Aufgabe ?

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Wie verläuft die Spannung von 10ms bis 20ms ?
Wer hat den Verlauf gezeichnet ?
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Ich langweile mich noch die ganze Nacht - also meld dich, wenn Du das noch vor Weihnachten machen willst.

Comments

Also soweit ich weiß wird tau doch durch die multiplikation von dem Widerstand R und der Kapazität des kondensators bestimmt.

Und da kommt bei mir 2ms raus. Wenn ich die Zeichnung richtig deute, dann liegt zwischen 10 und 20 ms keine Spannung an oder?

Und ich glaube mein lehrer hat das gezeichnet, die zeichnung wurde uns so vorgegeben.

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t=2ms ist korrekt und nach 10 ms kann man Vollladung - also erreichen der Quellenspannung annehmen.

u(t) = u0*(1-e^-t/τ)

muss nun mit Werten befüllt und von 0 bis 10 integriert werden.

das solltest du hinbekommen.

Der Verlauf von 10 bis 20 ist so technisch unmöglich. Nimmt man aber trotzdem die Zeichnung als Ideal "wörtlich", stimmt die Mittelwertbrechnung nicht.

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Ok ich habe jetzt so gerechnet: (10V*(1-e^-10/2)-(10V*(1-e^-0/2)).

Aber da kommt bei mir U_RMS=5V raus. Was habe ich falsch gemacht?

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Du musst erst den Verlauf integrieren. Nicht einfach den Durchschnitt von Anfang und Endwert nehmen.

$$\int_{0ms}^{10ms}  u_0 \cdot (1-e^{-\frac t \tau}) \,dt $$
$$ u_0 \cdot \int_{0ms}^{10ms}  (1-e^{-\frac t \tau}) \,dt $$
$$ u_0 \cdot \left( \int_{0ms}^{10ms}  (1) \,dt - \int_{0ms}^{10ms}  e^{-\frac t \tau} \,dt \right)$$
$$ u_0 \cdot \left( 10ms - \tau \cdot [ e^{-1} - e^{-5}]\, \right)$$
$$ u_0 \cdot \left( 10ms - 2 ms \cdot [ 0,36788 -0,00674]\, \right)$$

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Du musst erst den Verlauf integrieren
Beachte S !

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Beachte S !

was bitte ?

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steht doch in der Aufgabe ! Mit deiner Methode bekommst du nie  5,93 V  heraus.

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Mein bisher dargestellete Methode ermittelt den arithmetischen Mittelwert.

Mit "Mittelwert U_RMS " ist jedoch der Effektivwert gemeint.

Um diesen zu bekommen, muss mit dem Quadrat der Funktion gearbeitet werden.

Ich denke, das hat der sich anonym hinter der Bezeichnung gast hj 210 verbergende Nutzer mit seiner ausführlichen Anregung wohl gemeint.

http://de.wikipedia.org/wiki/Effektivwert

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Tut mir leid, dass ich mich erst so spät melde, aber ich habe dafür meinen Lehrer nach der Lösung gefragt.

Lösung:

1.) U²_RMS= 1/T  ₀∫^T/2 U₀² * (1- e^-t/τ)² dt

2.)              = 1/T  ₀∫^T/2 (10V)² * (1- 2* e^-t/τ+e^-2*t/τ) dt

3.)              = 1/0,02s [ (1V)² * (100 * t +0,4s * e^-t/τ - 0,1s * e^-2*t/τ) ]_0s^0,01s

^4.)               = 1/0,02s * (1V)² * [ ( 1s + 0,4s/e⁵ - 0,1s/e¹⁰) - (0s+0,4s-0,1s) ]

5.)               = 1/0,02s * (1V)² * [ (0,4s/e⁵ - 0,1s/e¹⁰ + 0,7s) ]

6.)               = 1/0,02s * (1V)² * 0,7027s

7.)  U²_RMS = 35,13 V²

8.)  U_RMS    = 5,93V

So, den Lösungsweg verstehe ich soweit, aber ein paar Fragen habe ich trotzdem. In dem zweiten Schritt hat er um das zu erhalten (1- 2* e^-t/τ+e^-2*t/τ) eine Binomische Formel angewendet, aber ich verstehe irgendwie nicht wie er darauf gekommen ist bzw. wie das funktioniert. Außerdem verstehe ich nicht wie er auf die 0,4s und die 0,1s im dritten Schritt gekommen ist. Ich glaube er hat für t im Exponenten die obere Grenze 0,01s eingesetzt durch tau geteilt und die Zahl vor der Eulerschen Zahl durch das Ergebnis dividiert, aber wenn der das so gemacht hat, verstehe ich nicht wieso, denn normalerweise teilt man die Zahl vor der Eulerschen Zahl doch durch die innere Ableitung des Exponenten oder?

Wenn ich das weiß bin ich zufrieden.^^