Wie kann man den Massenmittelpunkt mit Hilfe von Integralrechnung bestimmen?

Question

Hallo

Wie kann man den Massenmittelpunkt mit Hilfe von Integralrechnung bestimmen? 

z.B. in dieser Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Massenmittelpunkt einer gleichmässigen dicken halbkreisfärmigen Scheibe vom Radius r_0 in einem Punkt liegt, der 4*r_0/(3*Pi) vom Kreismittelpunkt entfernt liegt.

Danke 

Answer 1

Hallo,

allgemein gilt für eine Fläche K in der x-y-Ebene mit Flächeninhalt A

x_s=1/A*∫xdA  und y_s=1/A*∫ydA 

Für die halbe Kreisscheibe gilt x= r*cos(φ); y=r*sin(φ) , r∈[0,R] φ∈[0,π] (Der Mittelpunkt des Kreis liegt im Zentrum)

A=1/2*π*R^2

dA=r*dr*dφ

also

2/π*R^2*∫₀ ^πdφ∫₀^R r^2*cos(φ)dr

Die  Integration über φ gibt hier 0--> x_s=0

y_s=2/π*R^2*∫₀ ^πdφ∫₀^R r^2*sin(φ)dr=4/π*R^2*∫₀^R r^2*dr=4*R/(3*π)

Answer 2

Dürft ihr die Schwerpunktformeln verwenden

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt