Bewegungsgleichung ermitteln

Question

Hallo Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe :

Aufgabe:

Ermitteln Sie die Bewegungsgleichung eines Teilchens der Masse m fur die folgende
Lagrange - Funktion : 

L(t,x,x´) = m/2 * x² ´  - k /2 * x²

Leider weiß ich gar nicht wie Ich hier vorgehen soll und verstehe ehrlich gesagt nicht so richtig die vorgehensweise wenn ich mir ähnliche Aufgaben anschaue.


Liebe Grüße 

Hans

Answer 1

Hallo Hans,

die Lagrange Gleichung \(L(t,\, x,\, \dot x ) = \frac 12 m \dot x^2 - \frac 12 k x^2\) ist der Fall einer Masse im harmonischen Potential wie es zum Beispiel bei einem Feder-Masse-System auftritt.

Um die Bewegungsgleichung zu bestimmen leitet man nach \(\dot x\) und der Zeit \(t\) und dann noch nach \(x\) selbst. Man erhält: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}  (m \dot x) = m \ddot x \\ \frac{\partial L}{\partial x} = -kx $$Einsetzen in die Euler-Lagrange-Gleichung \(\frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \frac{\partial L}{\partial x}\) gibt dann die Bewegungsgleichung:$$m \ddot x = - kx \implies \ddot x = - \frac km x$$mit der bekannten Lösung$$x(t)= A \cos \left(t \sqrt{\frac km} + \varphi \right)$$wobei die Amplitude \(A\) und der Phasenwinkel \(\varphi\) aus den Anfangsbedingungen folgen.