Wasseruhr - Radius des Gefäßes und Rückstoßkraft ausrechnen

Question

Aufgabe:

Ein rotationssymmetrisches Gefäß hat im Boden eine kleine Öffnung mit dem Querschnitt A, aus der eine im Gefäß befindliche (ideale) Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit v ausfließen kann. Die Ausflussgeschwindigkeit hängt natürlich von der Höhe z des  Flüssigkeitsspiegels  ab.  Durch  geeignete  Formgebung  des  Gefäßes,  d.h.  durch  einen  geeigneten
Zusammenhang  zwischen r,  dem  jeweiligen  Radius  des  kreisförmigen  Querschnitts,  und der Höhe z soll erreicht werden, dass der Oberflächenspiegel mit konstanter Geschwindigkeit v_s absinkt. Wenn der Flüssigkeitsspiegel proportional zur Zeit absinkt, heißt ein solches Gefäß auch Bernoullische Wasseruhr.

a)  Bestimmen Sie r in Abhängigkeit von z und v_s.

b)  Wie groß ist die Rückstoßkraft, die auf das Gefäß wirkt, in Abhängigkeit von z und v_s?

Problem/Ansatz:

Mithilfe der Bernoullischen Gleichung und der Kontinuitätsgleichung für Volumenstromstärke kam ich auf

$$ r = \sqrt { \frac {r_{0} * v_{s} } { \sqrt { v_{s}^{2}-2gz }}}$$

wobei r₀ der Radius der Ausflussfläche ist. Allerdings muss dieser ja auch noch für a) eliminiert werden.

Für b) habe ich noch keinen Ansatz

Comments

auf die a) bin ich inzwischen gekommen:

$$ r = r_{0} * \sqrt {1+ \frac {2gz} {v_{s}^{2}}} $$

Answer 1

Für die Rückstoßkraft brauchst du Impuls/Zeit, das ist die Masse, die pro s ausfliesst mal vs,

genauer dm/dt*vs und dm/dt =ρ*r^2*pi*dz/dt

Gruß lul