richtig ist, dass es eine Kreisbewegung ohne Zentripetalkraft nicht gibt. Da die Kraft senkrecht auf v steht, leistet sie keine Arbeit, d.h. ohne Reibung kann die Kreisbewegung immer weiter gehen ( z.b, unsere Bewegung um die Sonne) Wenn die Geschwindigkeit einer kreisenden Masse erhöht oder gebremst wird, braucht man eine zusätzliche Kraft, bzw. Beschleunigung in Wegrichtung, also tangential. bei realen Krisbewegungen mit Reibung, z.B einfach schon um die Geschwindigkeit aufrecht zu erhalten. Wenn man einen Looping fährt, bewirkt die Gewichtskraft eine Änderung der Geschwindigkeit, die Gewichtskraft muss man dabei zerlegen in tangential die beschleunigt oder bremst und eine radiale, die zur Zentripetalkraft beiträgt oder sie verkleinert.
at und aII sind Komponenten der Gesamtkraft, deshalb muss man sie nicht als Vektoren schreiben. oder kann sie als Vektoren in der jeweiligen Richtung schreiben. dv/dt in deiner Formel für a|| ist die Änderung des Geschwindigkeitsbetrags, nicht des Geschwindigkeitsvektors , an oder a senkrecht ist dasselbe, weil normal=senkrecht.
die Formeln gelten nicht nur für reine Kreisbewegung, sondern für jede Bewegung auf gekrümmtem Kurven, r ist dann der sogenannte Krümmungsradius in einem Punkt.
jetzt alles klar?