Schwingungsgleichung für Zug, der zwischen beiden Polen pendelt

Question

Aufgabe:

Im Jahre 3437 wird ein Eisenbahntunnel eingeweiht, der den Nord- und den Südpol miteinander auf gerader Linie, also durch den Erdmittelpunkt hindurch, verbindet. Der Zug selbst wird hierbei in eine Vakuumröhre fallen gelassen und legt die gesamte Strecke reibungsfrei und antriebslos zurück, so dass die Passagiere während der ganzen Fahrt schwerelos sind.

a) Leiten Sie eine Schwingungsgleichung her, für den Fall, dass der Zug ohne Aufenthalt an den Polen pendeln würde. Nehmen Sie hierfür an, dass für die auf den Aufzug wirkende Gravitationskraft nur der Anteil der Erdmasse eine Rolle spielt, der sich innerhalb einer Kugel mit dem Radius der momentanen Position des Zugs befindet. Die Massenverteilung der Erde sei als konstant angenommen.
b) Wie lange dauert der Transfer von einem Pol zum anderen?
c) Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht der Zug?
d) Eine (antriebslose) Raumsonde soll nun ebenfalls um die Erde kreisen und sich bei Ankunft des Zuges an den Polen jeweils genau über der Bahnstation befinden. Ist dies prinzipiell möglich? Begründen Sie Ihre Aussage!

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie man bei der a) anfangen soll.

Answer 1

Hallo die Kraft die auf den Aufzug Masse m  wirkt ist G*m*M/r^2 wobei die Masse der Erde di ist die innerhalb r liegt, also M=4pi/3r^3*ρ also F=m*G*4piρ*r

und 4pi/3rR^3*ρ*G/R^2=g mit R Radius der Erde. also 4piρ*G=g/R

das in F eingesetzt und du hast mit  F=m*a die Beschleunigung r''(t) , also nur noch das Vorzeichen richtig.

Gruß lul

Comments

Danke, hat mir schon mal viel geholfen. Für a(t)=r''(t) habe ich G*4/3*pi*ρ*r berechnet, stimmt das? Ist das schon die Schwingungsgleichung oder muss man noch weiter rechnen, dass man sin oder cos in der Gleichung hat? Wenn ja, wie würde man das machen?
Für die b) verwendet man dann s=1/2*at^2 mit s=2r_Erde?
Bei c) a(t) integrieren bzw. s=1/2*vt umstellen?

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Hallo

warum hast du nicht wie ich sagte  das  4piρ*G ersetzt, und überlegt, dass da  r''=-k*r stehen muss?

für b ) da steht "Eine (antriebslose) Raumsonde" woher soll da denn a kommen?

antriebslos heisst keine Beschleunigung in Wegrichtung! also das was du einen Satelliten nennen würdest. kannst du für den die Umlaufzeit ausrechnen, in Abhängigkeit vom Radius r1 , in dem er kreist, und dann feststellen, gibt es ein  r1 so  dass eine Umkreisung so lange dauert wie einmal durch die Mitte der Erde und zurück, also die Schwingungsdauer.

Bitte geh genauer auf posts ein

s''=-k*s hat  eine sin oder cos Lösung , je nach Anfangsbedingung, die sind hier r(0)=R, r'(0)=0

Guß lul

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Wieso wird aus der 4/3 von der Masse der Erde eine 4? Das mit dem r''=-k*r ist mir dann bewusst.
Die Raumsonde ist bei d) und nicht bei b).

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hallo

 die 3 im Nenner vergessen, war ein dummer  Tip-Fehler, deshalb sollst du ja auch nicht glauben, sondern nachrechnen. wenn du k in r''=-kr Allgemeine Lösung r(t)=a*sin(√k*t)=+b*cos(√k*t)) hast und a,b aus den Anfangsbedingungen hast, kannst du daraus die Schwingungsdauer und  aus r'(t) die maximale Geschwindigkeit bestimmen! also b und c lösen,  d dann mit dem Satellit in der Umlaufbahn.

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Jetzt versteh ich's, danke!

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Kann einer von euch beiden bitte nochmal die genaue Rechnung für a.) aufführen? Ich bin gerade etwas überfordert und komme hier nicht mit

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 du musst schon genauer sagen, was du nicht kapierst, kannst du die Gravitationskraft der Masse M auf m noch, ist klar dass die Masse innerhalb des Radius r von r abhängt?

also wo an den Rechnungen scheiterst du. Du könntest z.B. aufschreiben, bis wo du kommst, oder welche Gleichung du nicht mehr verstehst.