Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe a: Entropiestrom, der von der Anlage an die Umwelt abgegeben wird
Zunächst wird in der Aufgabenstellung bereits der Energiestrom \(I_E\) gegeben, der gleich 1.5 GW oder \(1.5 \times 10^9\) W ist. Die Temperatur, bei der die Abwärme anfällt, beträgt 30 °C, was umgerechnet 303.15 K entspricht (Umrechnung: Grad Celsius zu Kelvin durch Addition von 273.15).
Die Beziehung zwischen dem Energiestrom \(I_E\), dem Entropiestrom \(I_s\), und der Temperatur \(T\) ist gegeben durch:
\(I_E = I_s \cdot T\)
Um den Entropiestrom \(I_s\) zu berechnen, lösen wir die Gleichung nach \(I_s\) auf:
\(I_s = \frac{I_E}{T}\)
Setzen wir die gegebenen Werte ein:
\(I_s = \frac{1.5 \times 10^9 \, \mathrm{W}}{303.15 \, \mathrm{K}} = 4.95 \times 10^6 \, \mathrm{W/K}\)
Das ist in Übereinstimmung mit der bereits in der Frage bereitgestellten Lösung.
Aufgabe b: Entropiestrom vom Ofen an die Anlage, falls diese vollkommen reversibel läuft
Bei einem vollkommen reversiblen Prozess ist die Entropieänderung des Gesamtsystems null. Das bedeutet, dass der Entropiestrom, der vom Ofen an die Anlage abgegeben wird, gleich dem Entropiestrom sein muss, der von der Anlage an die Umwelt abgegeben wird, weil keine Entropie erzeugt wird. Also ist \(I_s = 4.95 \times 10^6 \, \mathrm{W/K}\).
Aufgabe c: Heiztemperatur bei einer thermischen Leistung von 1.25 GW
In der Aufgabenstellung wurden zwei Methoden angewendet, aber nur eine ist korrekt für den Kontext der Frage:
Der Entropiestrom ist gegeben und konstant, weil er einer der grundlegenden Parameter des Prozesses ist. Die thermische Leistung \(P_{th}\) hängt von der Differenz der Temperaturen ab (\(T1 - T2\)), wo \(T1\) die Heiztemperatur und \(T2\) die Temperatur ist, bei der die Energie abgegeben wird (in diesem Fall 303.15 K).
Das Problem wurde so formuliert:
\(P_{th} = I_s \cdot (T1 - T2)\)
Umgestellt nach \(T1\) erhalten wir:
\(T1 = \frac{P_{th}}{I_s} + T2\)
Wenn wir die Werte für \(P_{th} = 1.25 \times 10^9 \, \mathrm{W}\) und \(I_s = 4.95 \times 10^6 \, \mathrm{W/K}\) sowie \(T2 = 303.15 \, \mathrm{K}\) einsetzen, erhalten wir:
\(T1 = \frac{1.25 \times 10^9 \, \mathrm{W}}{4.95 \times 10^6 \, \mathrm{W/K}} + 303.15 \, \mathrm{K}\)
\(T1 = 252.525 \, \mathrm{K} + 303.15 \, \mathrm{K} = 555.675 \, \mathrm{K}\)
Warum ist die letztere Methode korrekt?
Die letztere Methode ist korrekt, weil sie die Temperaturdifferenz \(T1 - T2\) korrekt miteinbezieht. Die Heiztemperatur \(T1\) muss höher sein als \(T2\), um einen positiven Energiestrom zu erzeugen (thermische Leistung). Die Berechnung zeigt, dass die Heiztemperatur deutlich über der Temperatur der Abwärme liegen muss, um die gewünschte thermische Leistung von 1.25 GW zu erreichen. Der Fehler in der ersten Berechnung bzgl. \(T2 = 50.525 \, \mathrm{K}\) liegt darin, dass sie die Beziehung zwischen der thermischen Leistung, dem Entropiestrom, und den Temperaturen auf eine Weise verwendet, die physikalisch nicht sinnvoll ist, weil sie impliziert, dass die Temperatur, bei der Energie abgegeben wird, niedriger ist als die Umgebungstemperatur, was in diesem Kontext nicht der Fall ist bzw. die Rechnung führte zu einem Ergebnis, das im weiteren Verlauf falsch interpretiert wurde; korrekt ist, dass die Endtemperatur \(T1\) berechnet wurde.
