Kinetik: Vulkanausbruch (vertikaler Wurf)

Question

Bei einem Vulkanausbruch werden Steine bis 2 km hoch nach oben geschleudert. Der Vulkankrater befindet sich auf 500m Höhe über den Boden.
a) Mit welcher Geschwindigkeit mussten sie den Vulkan verlassen um in diese Höhe zu geraten? b) Wie lange dauert es, bis die Steine auf dem Boden auftreffen?
c) Welche Anfangsgeschwindigkeit wäre nötig, damit die Steine eine maximale Höhe von 1000m (über Boden) erreicht?

Answer 1

a) Mit welcher Geschwindigkeit mussten sie den Vulkan verlassen um in diese Höhe zu geraten?

v = g·t
t = v/g

s = 1/2·g·t^2 = 1/2·g·(v/g)^2 = v^2/(2·g)
v = √(2·g·s)
v = √(2·(9.81 m/s^2)·(1500 m)) = 171.6 m/s = 617.6 km/h

Dabei setzten wir mal voraus, dass der Ortsfaktor g über die gesamte Höhe gilt, was sicher nicht exakt der Fall ist.

b) Wie lange dauert es, bis die Steine auf dem Boden auftreffen?

s = 1/2·g·t^2
t = √(2·s/g)

t = √(2·(1500 m)/(9.81 m/s^2)) + √(2·(2000 m)/(9.81 m/s^2)) = 37.68 s

Answer 2

a)

Beim senkrechten Wurf überlagern sich zwei Bewegungen:

1) die nach oben gerichtete gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit v₀

Diese führt dazu, dass ein herausgeschleuderter Stein nach t Sekunden den Weg

s₁ ( t ) = v₀ * t

Meter zurücklegt.

2) die nach unten gerichtete, durch die Erdschwerebeschleunigung a gleichförmig beschleunigte Bewegung (freier Fall) mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀

Diese führt dazu, dass der Stein nach t Sekunden einen Weg

s₂ = ( 1 / 2 ) a * t ²

Meter in die entgegengesetzte Richtung zurücklegt. Die Überlagerung führt somit zu dem Gesamtweg:

s ( t ) = s₁ ( t ) - s₂ ( t )

= v₀ * t - ( 1 / 2 ) a * t ²

Für die Funktion h ( t ), die die Höhe eines Steines nach t Sekunden bei einer Anfangshöhe h₀ = 500 m angibt, gilt daher:

h ( t ) = 500 + v₀ * t - ( 1 / 2 ) a * t ²

Damit ein herausgeschleuderter Stein den Scheitelpunkt seiner Flugbahn in 2000 m Höhe nach einer Zeit t erreichen kann, muss die Funktion h ( t ) an dieser Stelle t den Funktionswert 2000 haben und dort eine horizontale Tangente besitzen, es muss also gelten:

h ( t ) = 500 + v₀ * t - ( 1 / 2 ) a * t ² = 2000
h ' ( t ) = v₀ - a * t = 0

<=>

v₀ * t - ( 1 / 2 ) a * t ² = 1500
 t = v₀ / a 

<=>

v₀* v₀ / a  - ( 1 / 2 ) a ( v₀ / a ) ² = 1500
 t = v₀ / a

<=>

v₀² / a  - a * v₀² / ( 2 a ² ) = 1500
 t = v₀ / a

<=>

v₀² / a  -  v₀² / ( 2 a ) = 1500
 t = v₀ / a

<=>

v₀² / ( 2 a ) = 1500
 t = v₀ / a

<=>

v₀² = 1500 * 2 a = 3000 a
 t = v₀ / a

<=>

v₀ = √ ( 3000 a )
 t = v₀ / a

Mit a = 9,81 m/s² ergibt sich:

<=>

v₀ = √ 29430 ≈ 171,55 m/s ≈ 617,59 km/h
 t =√ ( 29430 ) / 9,81 ≈ 17,49 s

 

Also: Der Stein muss mit einer Anfangsgeschwindigkeit von etwa v₀ = 171,55 m/s aus dem Vulkan geschleudert werden, damit er in 2000 m Höhe den Scheitelpunkt seiner Flugbahn erreicht. Dies geschieht etwa 17,49 Sekunden nach dem Auswurf.

 

b)

Die Steine erreichen den Boden, wenn sie den Scheitelpunkt überschritten haben (wenn also t > 17,49 s ist ) und dabei gilt:

h ( t  ) = 500 + v₀ * t - ( 1 / 2 ) a * t ²  = 0

Auflösen nach t ergibt:

<=>  ( 1 / 2 ) a * t ² - v₀ * t = 500 

<=> t ² - 2 * ( v₀ / a ) * t = 500 * 2 / a = 1000 / a 

Quadratische Ergänzung auf beiden Seiten addieren:

<=> t ² - 2 * ( v₀ / a ) * t +  ( v₀ / a ) ² = ( 1000 / a ) + ( v₀ / a ) ²

<=> ( t - ( v₀ / a ) ) ² = ( 1000 / a ) + ( v₀ / a ) ²

<=> t - ( v₀ / a )  = ± √ ( ( 1000 / a ) + ( v₀ / a ) ² )

<=> t = - √ ( ( 1000 / a ) + ( v₀ / a ) ² ) + ( v₀ / a ) oder t = - √ ( ( 1000 / a ) + ( v₀ / a ) ² ) + ( v₀ / a )

Mit v₀ = √ 29430 und a = 9,81 m/s² ergibt sich v₀ / a ≈ 17,49 und daraus:

=> 

t = - √ ( ( 1000 / 9,81 ) + 17,49 ² ) + 17,49 ≈ - 2,71

oder

t = √ ( ( 1000 / 9,81 ) + 17,49 ² ) + 17,49 ≈ 37,68

Wegen der Bedingung t > 17,49 kommt nur

t ≈ 37,68 s

als Lösung in Frage.

Also: Etwa 37,68 Sekunden nach dem Auswurf treffen die Steine auf dem Boden auf.

 

c) Ähnlich wie bei Teil a), allerdings muss hier das Gleichungssystem

h ( t ) = 500 + v₀ * t - ( 1 / 2 ) a * t ² = 1000
h ' ( t ) = v₀ - a * t = 0

gelöst werden.

Comments

es wäre schön gewesen wenn du bei deiner Lösung die Umformungsschritte noch daneben geschrieben hättest