Schraubenmutter: Wie groß ist die beim Anziehen aufgewendete Dreharbeit?

Question

Beim Anziehen einer Schraubenmutter um den Drehwinkel ϕ =80° steigt das Drehmoment linear zu ϕ von M1 = 7 N*m (bei ϕ = 0°) auf das Drehmoment M2 = 11 N*m (bei ϕ = 80°).

Wie groß ist die beim Anziehen aufgewendete Dreharbeit?

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Dreharbeit beim Anziehen einer Schraubenmutter

Die beim Anziehen einer Schraubenmutter aufgewendete Arbeit lässt sich mit Hilfe der Beziehung für die Dreharbeit berechnen. Da sich das Drehmoment $M$ über den Drehwinkel $\varphi$ linear ändert, verwenden wir die Formel für die Arbeit $W$, die sich aus einem variablen Drehmoment ergibt. Die Dreharbeit ist das Integral des Drehmoments über den Drehwinkel:

$W = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} M(\varphi) \, d\varphi$

Da $M(\varphi)$ linear mit $\varphi$ steigt, können wir die lineare Formel $M(\varphi) = k \varphi + c$ verwenden, wobei $k$ die Steigung der Geraden (Anstieg) und $c$ der y-Achsenabschnitt ist (in unserem Fall entspricht $c = M_1$, da bei $\varphi = 0^\circ$ das Drehmoment $M_1$ beträgt).

Schritt 1: Umwandlung des Drehwinkels in Radiant

Der Drehwinkel $\varphi$ ist in Grad angegeben und muss für die Berechnung in Radiant umgewandelt werden, da das Bogenmaß die natürliche Einheit für Winkel im Zusammenhang mit Drehungen und Integrationen ist.

$\varphi_{rad} = \varphi_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}$

Für $\varphi = 80^\circ$:

$\varphi_{rad} = 80^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{4}{9} \pi \, \text{rad}$

Schritt 2: Bestimmung der Steigung $k$ der Drehmoment-Winkel-Beziehung

Die Steigung $k$ der Geraden, die $M$ in Abhängigkeit von $\varphi$ darstellt, berechnet sich aus der Veränderung des Drehmoments bezogen auf die Veränderung des Winkels (beide in konsistenten Einheiten, hier Grad zu N*m). Da der Winkel in Radiant umgewandelt wurde, sollte auch $k$ im Zusammenhang mit dem Winkel in Radiant berechnet werden:

$k = \frac{M_2 - M_1}{\varphi_{rad}}$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$k = \frac{11 \, \text{N*m} - 7 \, \text{N*m}}{\frac{4}{9} \pi \, \text{rad}} = \frac{4 \, \text{N*m}}{\frac{4}{9} \pi \, \text{rad}} = \frac{9}{\pi} \, \text{N*m/rad}$

Schritt 3: Berechnung der Dreharbeit

Jetzt, wo wir $k$ haben, können wir die Formel für $M(\varphi)$ vervollständigen, die lautet:

$M(\varphi) = k \varphi + M_1$

Draus folgt die Arbeit:

$W = \int_{0}^{\varphi_{rad}} (k \varphi + M_1) \, d\varphi$

Einsetzen und Integrieren:

$W = \int_{0}^{\frac{4}{9}\pi} \left(\frac{9}{\pi} \varphi + 7\right) \, d\varphi = \left[\frac{9}{2\pi}\varphi^2 + 7\varphi \right]_{0}^{\frac{4}{9}\pi}$

Einsetzen der Grenzen:

$W = \left[\frac{9}{2\pi}\left(\frac{4}{9}\pi\right)^2 + 7\left(\frac{4}{9}\pi\right)\right] - \left[0\right]$

$W = \left[\frac{9}{2\pi}\left(\frac{16}{81}\pi^2\right) + \frac{28}{9}\pi\right]$

$W = \left[ \frac{144}{162\pi} + \frac{28}{9}\pi\right]$

$W = \left[ \frac{8}{9} + \frac{28}{9}\pi\right] \, \text{N*m} \cdot \text{rad}$

$W = \left(\frac{8}{9} + \frac{28\pi}{9}\right) \, \text{N*m} \cdot \text{rad}$

Dieses Ergebnis gibt die beim Anziehen aufgewendete Dreharbeit in N*m an, unter Berücksichtigung der linear mit dem Winkel ansteigenden Drehmomentkurve.