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Dreharbeit beim Anziehen einer Schraubenmutter
Die beim Anziehen einer Schraubenmutter aufgewendete Arbeit lässt sich mit Hilfe der Beziehung für die Dreharbeit berechnen. Da sich das Drehmoment \( M \) über den Drehwinkel \( \varphi \) linear ändert, verwenden wir die Formel für die Arbeit \( W \), die sich aus einem variablen Drehmoment ergibt. Die Dreharbeit ist das Integral des Drehmoments über den Drehwinkel:
\(
W = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} M(\varphi) \, d\varphi
\)
Da \( M(\varphi) \) linear mit \( \varphi \) steigt, können wir die lineare Formel \( M(\varphi) = k \varphi + c \) verwenden, wobei \( k \) die Steigung der Geraden (Anstieg) und \( c \) der y-Achsenabschnitt ist (in unserem Fall entspricht \( c = M_1 \), da bei \( \varphi = 0^\circ \) das Drehmoment \( M_1 \) beträgt).
Schritt 1: Umwandlung des Drehwinkels in Radiant
Der Drehwinkel \( \varphi \) ist in Grad angegeben und muss für die Berechnung in Radiant umgewandelt werden, da das Bogenmaß die natürliche Einheit für Winkel im Zusammenhang mit Drehungen und Integrationen ist.
\(
\varphi_{rad} = \varphi_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}
\)
Für \( \varphi = 80^\circ \):
\(
\varphi_{rad} = 80^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{4}{9} \pi \, \text{rad}
\)
Schritt 2: Bestimmung der Steigung \( k \) der Drehmoment-Winkel-Beziehung
Die Steigung \( k \) der Geraden, die \( M \) in Abhängigkeit von \( \varphi \) darstellt, berechnet sich aus der Veränderung des Drehmoments bezogen auf die Veränderung des Winkels (beide in konsistenten Einheiten, hier Grad zu N*m). Da der Winkel in Radiant umgewandelt wurde, sollte auch \( k \) im Zusammenhang mit dem Winkel in Radiant berechnet werden:
\(
k = \frac{M_2 - M_1}{\varphi_{rad}}
\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\(
k = \frac{11 \, \text{N*m} - 7 \, \text{N*m}}{\frac{4}{9} \pi \, \text{rad}} = \frac{4 \, \text{N*m}}{\frac{4}{9} \pi \, \text{rad}} = \frac{9}{\pi} \, \text{N*m/rad}
\)
Schritt 3: Berechnung der Dreharbeit
Jetzt, wo wir \( k \) haben, können wir die Formel für \( M(\varphi) \) vervollständigen, die lautet:
\(
M(\varphi) = k \varphi + M_1
\)
Draus folgt die Arbeit:
\(
W = \int_{0}^{\varphi_{rad}} (k \varphi + M_1) \, d\varphi
\)
Einsetzen und Integrieren:
\(
W = \int_{0}^{\frac{4}{9}\pi} \left(\frac{9}{\pi} \varphi + 7\right) \, d\varphi = \left[\frac{9}{2\pi}\varphi^2 + 7\varphi \right]_{0}^{\frac{4}{9}\pi}
\)
Einsetzen der Grenzen:
\(
W = \left[\frac{9}{2\pi}\left(\frac{4}{9}\pi\right)^2 + 7\left(\frac{4}{9}\pi\right)\right] - \left[0\right]
\)
\(
W = \left[\frac{9}{2\pi}\left(\frac{16}{81}\pi^2\right) + \frac{28}{9}\pi\right]
\)
\(
W = \left[ \frac{144}{162\pi} + \frac{28}{9}\pi\right]
\)
\(
W = \left[ \frac{8}{9} + \frac{28}{9}\pi\right] \, \text{N*m} \cdot \text{rad}
\)
\(
W = \left(\frac{8}{9} + \frac{28\pi}{9}\right) \, \text{N*m} \cdot \text{rad}
\)
Dieses Ergebnis gibt die beim Anziehen aufgewendete Dreharbeit in N*m an, unter Berücksichtigung der linear mit dem Winkel ansteigenden Drehmomentkurve.
