Einheiten der Parameter k_(i) einer Trajektorie bestimmen

Question

$$ \vec {r}(t) = \begin{pmatrix} k_1+k_2t^2+k_3t^5 \\ k_4+k_5t^3 \\ k_6 \end{pmatrix} $$

Es sollen die Einheiten der Parameter k_i bestimmt werden. Die Lösung sagt für k1 Meter, für k2 Meter^2 , für k3 Meter hoch 5 und so weiter, also immer abhängig vom t-Exponenten. Das verstehe ich nicht.

Eine solche Bahnkurve gibt mir ja die Position eines Massenpunktes zu einem Zeitpunkt an. Und gemäss Skript sei die Einheit der Komponenten immer Meter. Wer kann Licht ins Dunkel bringen?

Answer 1

Das kann doch eigentlich nicht sein. Wenn \( \vec r(t) \) in Meter gemessen wird und \( t \) in Sekunden, dann muss z.B. \( k_2 \) in \( \frac{m}{\text{Sekunden}^2} \) gemessen werden.

Answer 2

Die Einheiten der Parameter \( \mathbf{k}_{-} i \) sind in der Tat nicht direkt von den Exponenten der Terme abhängig, sondern hängen stattdessen von der Einheit des Vektors ab, in diesem Fall Metern.

Da der Vektor \( \vec{r}(t) \) die Position des Massenpunktes im Raum beschreibt, müssen alle Komponenten des Vektors die gleiche Einheit haben. In diesem Fall haben alle Komponenten die Einheit Meter, da die Position eines Massenpunktes im Raum üblicherweise in Metern angegeben wird.

Die Parameter k_i sind Konstanten, die die Form der Bahnkurve bestimmen. Daher hängen ihre Einheiten nicht direkt von den Exponenten der Terme ab, sondern von der Einheit des Vektors, in dem sie auftreten. Da alle Komponenten des Vektors \( \vec{r}(t) \) in Metern angegeben sind, müssen auch die Konstanten k_i in Metern angegeben sein, um eine sinnvolle Bahnkurve zu erzeugen.
Daher haben alle Parameter k_i die Einheit Meter, unabhängig von den Exponenten der Terme in der Vektorkomponente.