Ich bastele nun schon einige Zeit an der Fragestellung herum:
Was passiert mit den Dimensionen von physikalischen Gleichungen, wenn Werte unter Wurzeln stehen?
Zum besseren Verständnis:
Das Thema lautet:
Was passiert mit den Dimensionen von physikalischen Gleichungen, wenn Werte unter Wurzeln stehen?
Klassisches Beispiel, bei dem es reibungslos klappt: Freier Fall.
h = Fallhöhe [m]
g = Erdbeschleunigung am Normort m/s²
t = Fallzeit [s]
\( \frac { g * t ^ { 2 } } { 2 } = h \) aufgelöst nach der Fallzeit gibt das:
\( t = \sqrt { \frac { 2 h } { g } } \triangleq \) für die Einheiten \( t = \sqrt { \frac { m * s ^ { 2 } } { m } } \) m kürzen → \( t = \sqrt { s ^ { 2 } } \triangleq t = s \)
Man sieht hier:
Damit t die richtige Einheit (s) hat, muss die Wurzel nicht nur auf die Zahlenwerte,
sondern auch auf die Einheiten wirken!
Die Dimensionen müssen wie Zahlen behandelt werden. Die Wurzel muss genauso auf
die Dimensionen angewendet werden.
Es gibt aber auch Gegenbeispiele: z.B. Hertz´sche Pressung an Stirnrädern.
\( \sigma = \sqrt { \frac { F _ { t } } { b * d _ { 1 } } * \frac { u + 1 } { u } } \)
u= dimensionslose Faktoren, b und d in m oder mm
Die Einheit lautet also
\( \sigma = \sqrt { \frac { N } { m * m } } = \sqrt { \frac { N } { m ^ { 2 } } } \)
Wenn ich hier die Wurzel auf die Einheiten anwende, funktioniert es nicht mehr, die richtige
Einheit für die Spannung \( \sigma \) ist \( \frac { N } { m ^ { 2 } } \).
Frage also:
1, Wie ist das Problem Einheiten unter Wurzeln grundsätzlich zu behandeln?
2. Wie sieht es aus, wenn man die Wurzel aus z.B. einer Einheit ohne Potenz ziehen muss,
also z.B. √N ? Wird dann die Einheit wie eine 1 behandelt, also √1?
