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Satz von Stokes
Der Satz von Stokes ist ein bedeutendes Werkzeug in der Vektoranalysis und spielt eine zentrale Rolle bei der Umwandlung von Oberflächenintegralen in Wegintegrale oder umgekehrt. In seiner allgemeinen Form sagt der Satz von Stokes aus, dass das Integral der Rotation eines Vektorfeldes \(\mathbf{F}\) über eine orientierte, glatte Fläche \(S\) gleich dem Wegintegral dieses Vektorfeldes über den Rand \(\partial S\) dieser Fläche ist. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies:
\(
\iint_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}
\)
Dieser Satz verdeutlicht die tiefe Verbindung zwischen der Zirkulation eines Vektorfeldes über einer Kurve und dem Fluss seiner Rotation über eine Fläche, die von dieser Kurve begrenzt wird.
Bestimmung und Bedeutung der Randkurve
Die Randkurve \(\partial S\) einer Fläche \(S\) ist die geschlossene Kurve, die die Fläche umgrenzt. Für die Anwendung des Satz von Stokes ist es wichtig, die Orientierung dieser Kurve zu berücksichtigen, da das Integral über die Randkurve orientierungsabhängig ist. Die positive Orientierung der Randkurve ist dabei so definiert, dass, wenn man entlang der Randkurve läuft, die Fläche \(S\) zur linken befindet.
Beispiel: Offene Dose
In deinem Beispiel ist die gegebene Fläche \(S\) als "offene Dose" definiert, welche sich aus einem seitlichen Bereich (Zylindermantel) und einem Boden zusammensetzt. Der wichtigste Punkt hierbei ist, dass die Anwendung des Satz von Stokes uns erlaubt, die Berechnung des Flusses der Rotation von \(\mathbf{F}\) durch die gesamte Oberfläche \(S\) auf die Berechnung eines Wegintegrals über den Rand \(\partial S\) der Fläche zu reduzieren.
Für \(S\) bestehend aus:
1. Seitliche Fläche (Zylindermantel): \(x^2+y^2=4, 0<z<1\)
2. Bodenfläche (Kreis): \((x, y, 0): x^2+y^2<4\)
ist die Randkurve, die für das Wegintegral relevant ist, der obere Rand des Zylinders bei \(z=1\), da nur dieser Teil eine offene Grenze der "Dose" darstellt. Der Boden bei \(z=0\) ist zwar Teil der Fläche, aber kein Teil der offenen Randkurve im Sinne des Stokes'schen Satzes, da wir uns auf die äußere Umrandung konzentrieren, die die Fläche begrenzt und nicht auf innere Grenzen oder Böden.
Warum kann die Geometrie "weggelassen" werden?
Der Grund, warum man "quasi die komplette Geometrie weglassen" kann, liegt in der Natur des Satz von Stokes. Dieser erlaubt es uns, das Integral der Rotation von \(\mathbf{F}\) über die komplexe Geometrie der gesamten Fläche \(S\) durch das Integral über den Vektor \(\mathbf{F}\) entlang der vergleichsweise einfachen Randkurve \(\partial S\) zu ersetzen. Diese Reduktion auf den Rand vereinfacht die Berechnung erheblich, da das Wegintegral normalerweise einfacher zu berechnen ist als das Oberflächenintegral, besonders wenn die Randkurve eine einfache geometrische Form hat, wie in diesem Fall ein Kreis.
