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Satz von Stokes
Der Satz von Stokes beschreibt eine Beziehung zwischen der Oberflächenintegration über ein Vektorfeld entlang einer geschlossenen Kurve \(C\) und der Flussintegration des Rotationsfeldes dieses Vektorfeldes durch eine Fläche \(F\), die durch die Kurve \(C\) begrenzt wird. Formal ausgedrückt:
\(
\oint_{C} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \int \int_{F} \nabla \times \mathbf{v} \cdot d\mathbf{F}
\)
wobei:
- \(\mathbf{v}\) das Vektorfeld ist,
- \(d\mathbf{r}\) ein infinitesimales Vektorelement der Kurve ist,
- \(\nabla \times \mathbf{v}\) die Rotation (auch als Wirbel oder Rotor bezeichnet) von \(\mathbf{v}\) ist,
- und \(d\mathbf{F}\) ein orientiertes Oberflächenelement ist.
Gegeben
Das Vektorfeld ist gegeben durch \(\mathbf{v} = (xz, -y, x^2y)\).
Die Fläche \(F\) ist Teil des durch \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) und \(2x + 2y + 2z = 2\) (oder redimensioniert \(x + y + z = 1\)) begrenzten Tetraeders, die nicht in der \(x,z\)-Ebene liegt.
Berechnung des Rotationsfelds \(\nabla \times \mathbf{v}\)
Um den Satz von Stokes anwenden zu können, berechnen wir zuerst die Rotation des gegebenen Vektorfelds:
\(
\begin{aligned}
\mathbf{v} &= (xz, -y, x^2y) \\
\nabla \times \mathbf{v} &= \left| \begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
xz & -y & x^2y
\end{array} \right| \\
&= \left( \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) - \frac{\partial}{\partial z}(-y), \frac{\partial}{\partial z}(xz) - \frac{\partial}{\partial x}(x^2y), \frac{\partial}{\partial x}(-y) - \frac{\partial}{\partial y}(xz) \right) \\
&= (x^2 - 0, x - 2xy, 0 - z) \\
&= (x^2, x - 2xy, -z)
\end{aligned}
\)
Berechnung des Vektors der Fläche \(F\)
\(F\) liegt auf der Ebene \(x + y + z = 1\). Ein normaler Vektor zu dieser Fläche kann direkt aus den Koeffizienten der Ebenengleichung abgelesen werden: \(\mathbf{n} = (1, 1, 1)\).
Für eine parametrisierte Darstellung der Fläche \(F\) können wir die Ebenengleichung als \(z = 1 - x - y\) und \(x, y \geq 0\) annehmen (um sicherzustellen, dass die Fläche innerhalb des Tetraeders liegt). Dann ist eine mögliche Parametrisierung von \(F\):
\(
\mathbf{r}(x, y) = (x, y, 1 - x - y)
\)
mit der Begrenzung \(0 \leq x \leq 1\), \(0 \leq y \leq 1 - x\).
Das orientierte Oberflächenelement
\(
d\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{r} \, dA = \mathbf{n} \, dA
\)
wobei \(dA\) das Flächenelement in der \(x,y\)-Ebene ist und \(\mathbf{n}\) senkrecht zu dieser Ebene steht. Wegen der Orientierung und der Annahme von \(\mathbf{n} = (1, 1, 1)\) ist \(d\mathbf{F} = (1, 1, 1) dA\).
Durchführung der Oberflächenintegration
Um den Satz von Stokes zu verifizieren, müsste man normalerweise beide Seiten der Gleichung berechnen: einmal durch Integration entlang der geschlossenen Kurve \(C\) und dann durch Oberflächenintegration. Hier konzentrieren wir uns auf die rechte Seite der Gleichung, die Oberflächenintegration über das Rotationsfeld:
\(
\int \int_{F} (\nabla \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{n} \, dA
\)
Da das Rotationsfeld \(\nabla \times \mathbf{v}\) jedoch ein dreidimensionaler Ausdruck ist und \(\mathbf{n}\) in diesem Fall auch eine dreidimensionale Richtung hat, setzt sich die Berechnung fort mit:
\(
\begin{aligned}
\int \int_{F} (\nabla \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{n} \, dA &= \int_0^1 \int_0^{1-x} (x^2, x - 2xy, -z) \cdot (1, 1, 1) \, dy \, dx \\
&= \int_0^1 \int_0^{1-x} (x^2 + x - 2xy - z) \, dy \, dx
\end{aligned}
\)
Für \(z = 1 - x - y\), setzen wir dies ein und integrieren über die gegebene Region. Ich möchte bemerken, dass die abschließende Berechnung der Integrale und Vergleich mit der Kurvenintegration (die Berechnung der linken Seite von Stokes Gleichung) spezifische Fortsetzungen bezüglich der Parametrisierung der Randkurve \(C\) und deren Auswahl erfordert, wobei wir hier auf die Schritte für die Flächenintegration fokussiert sind.
