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Berechnung des Flächenintegrals über das Paraboloid mit dem gegebenen Skalarfeld
Das betrachtete Paraboloid wird durch \(z = x^2 + y^2\) beschrieben. Wir sind interessiert am Flächenintegral des Skalarfelds \(f(x,y,z) = \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}\) über die Fläche \(S\), die durch \( -1 \leq x \leq 1\) und \(x^2 - 1 \leq y \leq 1 - x^2\) definiert ist.
Um das Flächenintegral zu berechnen, bietet es sich an, zu parametrisierten Koordinaten überzugehen und die Oberfläche als Funktion der Parameter zu verstehen. Da \(z = x^2 + y^2\), können wir \(x\) und \(y\) direkt als unsere Parameter \((u,v)\) setzen, womit \(z(u,v) = u^2 + v^2\).
Die Gleichung für das Flächenintegral in parametrisierten Koordinaten ist allgemein gegeben durch:
\( \iint_S f(x,y,z) \, dS \)
Mit \(dS = |\nabla (z - x^2 - y^2)| dA\) wobei \(dA\) das Flächenelement in der \(x,y\)-Ebene ist. Da wir jedoch über ein Skalarfeld integrieren, müssen wir den Ausdruck für \(dS\) anpassen, um die tatsächliche Geometrie der Fläche zu berücksichtigen.
Für eine Funktion \(z = g(x,y)\) ist der Ausdruck für \(dS\) tatsächlich gegeben durch:
\( dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 } dA \)
Da \(z = x^2 + y^2\), erhalten wir:
\( \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \)
\( \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \)
Dadurch wird:
\( dS = \sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2} dxdy \)
\( dS = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} dxdy = f(x,y,z) dxdy \)
Das bedeutet, das Flächenintegral über \(f\) kann direkt als Integral über die xy-Ebene berechnet werden, da \(f(x,y,z)\) gleich \(dS\) ist. Daher:
\( \iint_S f(x,y,z) \, dS = \iint_S \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} \, dxdy \)
Jetzt integrieren wir über den Bereich \(-1 \leq x \leq 1\) und \(x^2 - 1 \leq y \leq 1 - x^2\):
\( \int_{-1}^{1} \int_{x^2 - 1}^{1 - x^2} \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} \, dy \, dx \)
Dieses Doppelintegral kann direkt (wenn auch möglicherweise mühsam) gelöst werden, um die Flächenintegral-Anforderung zu erfüllen.
Berechnung des Flusses des Vektorfelds \(V\) durch das Paraboloid
Das gegebene Vektorfeld ist \(V(x,y,z) = (3x^2, 2y-1,1)^T\). Um den Fluss durch das Paraboloid zu berechnen, verwenden wir den Satz von Gauss oder die direkte Berechnung von Oberflächenintegralen mit der Normalform des Vektorfelds \(V\).
Das Oberflächenintegral ist allgemein durch
\( \Phi = \iint_S V \cdot d\vec{S} \)
gegeben, wobei \(d\vec{S}\) der Vektor des Flächenelements ist, welcher normal zur Oberfläche steht, multipliziert mit dem Flächenelement \(dS\).
Für das Paraboloid mit \(z = x^2 + y^2\), ist der Oberflächennormalenvektor (unter Berücksichtigung der Orientierung nach außen) gegeben durch:
\( \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}(2x, 2y, -1) \)
Daher,
\( d\vec{S} = \vec{n}dS = (2x, 2y, -1) dxdy \)
Das Vektorfeld \(V\) in \(d\vec{S}\) eingesetzt:
\( V \cdot d\vec{S} = (3x^2, 2y-1,1) \cdot (2x, 2y, -1) dxdy \)
Die Berechnung des Skalarprodukts ergibt:
\( V \cdot d\vec{S} = (6x^3 + 4y^2 - 2y - 1) dxdy \)
Zuletzt wird dieses Skalarprodukt über dieselbe Region \(S\) integriert wie zuvor:
\( \iint_S (6x^3 + 4y^2 - 2y - 1) \, dxdy \)
Das Ergebnis dieses Integrals gibt den gesuchten Fluss von \(V\) durch die Oberfläche \(P\) an.
