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Quantenzahlen
Die angegebene Gleichung \( Y_{11}=c \cdot \cos \varphi \sin \theta \) hilft uns, die Quantenzahlen in quantenmechanischen Systemen, insbesondere bei der Beschreibung von Elektronenzuständen in Atomen, zu verstehen.
- Die erste Quantenzahl \(l=1\) wird als Bahndrehimpulsquantenzahl bezeichnet. Sie gibt den Gesamtdrehimpuls des Elektrons an.
- Die zweite Quantenzahl \(m=1\) wird als magnetische Quantenzahl bezeichnet. Sie gibt die Orientierung des Drehimpulses relativ zu einem externen Magnetfeld an.
Diese Quantenzahlen sind wichtig, da sie die möglichen Energieniveaus beschreiben, die ein Elektron in einem Atom einnehmen kann.
Nullstellen und Fläche
Die Funktion \( Y_{11}=c \cdot \cos \varphi \sin \theta \) wird in Kugelkoordinaten ausgedrückt, wobei \(\theta\) der Polarwinkel (Winkel von der positiven z-Achse) und \(\varphi\) der Azimutwinkel (Winkel in der xy-Ebene von der positiven x-Achse) ist.
Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktion gleich null:
\(c \cdot \cos \varphi \sin \theta = 0\)
Diese Gleichung ist null, wenn einer der beiden Faktoren (oder beide) null ist:
1. \(\cos \varphi = 0\) - Dies ist der Fall, wenn \(\varphi = 90^\circ\) oder \(\varphi = 270^\circ\), da \(\cos(90^\circ) = \cos(270^\circ) = 0\).
2. \(\sin \theta = 0\) - Dies passiert, wenn \(\theta = 0^\circ\) oder \(\theta = 180^\circ\), da \(\sin(0^\circ) = \sin(180^\circ) = 0\).
Die Fläche bzw. Knotenebene
- Die Fläche im Fall von \(\cos \varphi = 0\) (\(\varphi = 90^\circ\) und \(270^\circ\)) liegt in der xy-Ebene, weil \(\varphi\) der Azimutwinkel ist, der die Position in dieser Ebene beschreibt. Bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\) liegen die Punkte entlang der y-Achse, wodurch sie senkrecht zur x-Achse stehen, was bedeutet, dass wir uns in der xy-Ebene befinden.
- Der \(\sin \theta = 0\) Fall legt eine Fläche entlang der z-Achse fest, weil, wenn \(\theta = 0^\circ\) oder \(180^\circ\) ist, alle Punkte entweder am Nord- oder am Südpol der Kugel sind, was entlang der z-Achse liegt.
Warum \(cos(90)\) und \(sin(0)\) in diesem Kontext genannt werden:
- \(cos(90)\) wird erwähnt, um zu illustrieren, dass, wenn wir uns auf der Achse drehen, die entlang der xy-Ebene verläuft (für den Azimutwinkel \(\varphi = 90^\circ\)), wir eine Position finden, die zur Nullstelle für das \(\cos\)-Glied wird und damit auf eine Knotenlinie oder -ebene im System hinweist.
- \(sin(0)\) hingegen deutet auf eine andere Art der Knotenlinie oder -ebene hin, die mit dem Polarwinkel verbunden ist. Bei \(\theta = 0^\circ\) (oder \(180^\circ\)) schrumpft der Beitrag des \(\sin\)-Gliedes der Funktion zu null, was darauf hinweist, dass sich entlang der Polarachse (in Richtung oder gegenüber der z-Achse) kein Beitrag zur Wellenfunktion befindet.
Zusammenfassend, die Auswirkungen von \(cos(90)\) und \(sin(0)\) auf die Funktion \(Y_{11}\) zeigen, wie verschiedene Knotenlinien oder -ebenen in Bezug auf die geometrische Orientierung des Systems (Windows, Linux, macOSx) entstehen, basierend auf den Winkeln \(\theta\) und \(\varphi\) im Rahmen der Kugelkoordinaten.
