Antwort mit KI erzeugt
Arbeit eines sich drehenden Rades
Für die Berechnung der verrichteten Arbeit zum Stillstand eines sich drehenden Rades müssen wir zuerst die Energie berechnen, die in der Bewegung des Rades steckt. Da es sich um einen dünnen Reifen handelt, verwenden wir die Formel für die Rotationsenergie eines dünnen Reifens:
\(E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2\)
Dabei ist \(I\) das Trägheitsmoment des Reifens und \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit. Für einen dünnen Reifen ist das Trägheitsmoment gegeben durch:
\(I = m r^2\)
Also setzen wir dies in die Energieformel ein:
\(E_{rot} = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2\)
Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ist aktuell in Umdrehungen pro Minute angegeben. Wir müssen dies zuerst in Radian pro Sekunde umrechnen, da \(1 \, \text{U/min} = \frac{2\pi}{60} \, \text{rad/s}\):
\(\omega = 280 \, \text{U/min} = 280 \times \frac{2\pi}{60} \, \text{rad/s}\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\(m = 32.0 \, \text{kg}\)
\(r = 1.20 \, \text{m}\)
\(\omega = 280 \times \frac{2\pi}{60} \approx 29.32 \, \text{rad/s}\)
Rechnen wir nun die Rotationsenergie aus:
\(E_{rot} = \frac{1}{2} \times 32.0 \times (1.20)^2 \times (29.32)^2\)
\(E_{rot} = 0.5 \times 32.0 \times 1.44 \times 859.85\)
\(E_{rot} = 0.5 \times 46.08 \times 859.85\)
\(E_{rot} = 23.04 \times 859.85\)
\(E_{rot} = 19818.624 \, \text{J}\)
Da 1kJ = 1000J, teilen wir das Ergebnis durch 1000, um kJ zu erhalten:
\(E_{rot} = 19.82 \, \text{kJ}\)
Mein Ergebnis weicht leicht vom angegebenen Resultat ab. Möglicherweise liegt dies an der Rundung während der Berechnung oder einer geringen Diskrepanz in den ursprünglichen Annahmen.
Mittlere erforderliche Leistung
Die Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit. Da die Arbeit, die erforderlich ist, um das Rad zum Stillstand zu bringen, \(E_{rot}\) ist und dies innerhalb von 15,0 Sekunden geschieht, können wir die mittlere Leistung (\(P\)) berechnen als:
\(P = \frac{E_{rot}}{t}\)
Einsetzen der berechneten Rotationsenergie und gegebener Zeit:
\(P = \frac{19818.624}{15.0}\)
\(P = 1321.24 \, \text{W}\)
Dies steht im Widerspruch zu dem erwarteten Ergebnis von 1,3 W, was darauf hindeutet, dass hier entweder ein Fehler in der Interpretation der Aufgabenstellung oder ein Übertragungsfehler vorliegt. Die berechnete Leistung in Watt (W) sollte beträchtlich höher sein, da es eine signifikante Menge an Energie ist, die in einer relativ kurzen Zeitspanne dissipiert wird. Die Angabe von 1,3 W scheint nicht korrekt bezogen auf den Kontext und die berechnete Arbeit von etwa 19,82 kJ. Das korrekte Ergebnis der Berechnung von \(P\) zeigt, dass die erforderliche mittlere Leistung zum Abbremsen des Rades weitaus größer ist als 1,3 W, tatsächlich liegt sie im Bereich von über tausend Watt, was plausibel ist angesichts der verrichteten Arbeit und der Zeit.
