Hallo Hulli_Gulli,
Bin gerade im Kapitel Differenzialrechnung
dann versuche ich es mal, es Dir darüber zu erklären. Die Ladung \(Q\) ist proportional zur Spannung \(U\). Es gilt \(Q=C \cdot U\). Die 'Geschwindigkeit' der Entladung \(\dot Q\) ist der Strom \(I\), der durch den Widerstand (ab)fließt. Und dieser ist direkt proportional zu der Spannung \(U\) die am Widerstand und damit am Kondensator anliegt. D.h. die Änderung der Ladung ist proportional zur Ladung selbst: $$\dot Q \propto Q$$ oder genauer: $$\dot Q = I = \frac{U}{R} = \frac{Q}{R \cdot C}$$
Das ist eine Differentialgleichung (DGL), deren Lösung eine e-Funktion ist. Für \(Q(t \to \infty) = 0\) gilt:
$$Q(t) = Q_0 \cdot e^{\frac{-t}{T}} \quad \text{mit } T=R \cdot C$$
Die Entladezeitkonstante \(\tau\) eines Kondensators in einem RC-Kreis ist die Zeit, in der sich der Kondensator auf \(e^{-1}\) (entsprechend 0,368) seinerAusgangsladung bei t = 0 entlädt.
... dann ist hier das \(\tau\) gleich dem \(T\) in der Gleichung oben; denn: $$Q(\tau)= Q_0 \cdot e^{\frac{-\tau}{T}} = Q_0 \cdot e^{-1} \quad \Rightarrow \frac{-\tau}{T}= -1 \space \Rightarrow \tau = T$$ und um auf die eigentliche Aufgabe zurück zu kommen: $$Q_{50} = Q_0 \cdot e^{\frac{-t_{50}}{\tau}} = \frac12 Q_0 \\ \space \Rightarrow t_{50} = -\tau \ln(\frac12) = \tau \ln(2) \approx 1\text{s} \cdot 0,69 = 0,69\text{s}$$
