Eigentlich müsste man hier das wahre Newton'sche Gravitationsgesetz ausnutzen, weil die Näherung
F = -mg
in dieser großen Entfernung nicht mehr funktioniert.
Mit der Näherung lautet die Formel für den zurückgelegten Weg (ohne Anfangsgeschwindigkeit)
s = -g/2 * t2 + s0
mit g = 9.81 m/s2 als Erdbeschleunigung, s0 als Anfangsentfernung von der Erde und s als Endentfernung.
Er soll am Ende am Boden angekommen sein, also soll s = 0 gelten.
0 = -g/2 * t2 + s0
g/2 * t2 = s0
t2 = 2s0/g
t = √(2s0/g)
Setzt man nun s0 = 36000m und g = 9.81 m/s2 ein, so erhält man:
t ≈ 85.67 s ≈ 1.43 min
Man kann aber auch aus der anderen Richtung rechnen:
Für die Geschwindigkeit gilt
v = g*t
Also sollte t = v/g gelten.
v = 1342 km/h ≈ 372.78 m/s
t ≈ 38.00 s ≈ 0.63 min
Du siehst, man erhält auf beiden Wegen extrem unterschiedliche Ergebnisse, was daran liegt, dass die Beschleunigung eben nicht konstant 9.81 m/s² beträgt, sondern im Lauf des Falls zunimmt.
Geht man davon aus, dass man seinen Fall durch eine Durschnittsbeschleunigung a annähern kann, so müssen die beiden Formeln folgendermaßen aussehen:
(I) v = a*t
(II) 0 = -a/2 t2 + s0
Jeweils umgestellt nach a:
(I) a = v/t
(II) 0 = -a/2 t2 + s0
a/2 t2 = s0
a = 2s0/t2
⇒ v/t = 2s0/t2
t = 2s0/v
t ≈ 193.14 s ≈ 3.2 min
Du siehst, dass so sehr verschiedene Ergebnisse herauskommen, je nachdem, von welcher Annahme man ausgeht.
Um das Problem tatsächlich zu lösen, müsste die Bewegungsgleichung
r'' = - My/r² + FR/m
mit zusätzlichen Reibungskräfte FR gelöst werden, was relativ kompliziert ist und kaum im Verhältnis zum Aufwand steht. Wichtig ist: er ist ungefähr 2 Minuten gefallen.
