Zylinderkoordinaten Umrechnen

Question

Ein Teilchen bewege sich im Raum nach folgenden Gleichungen

x(t) = r cos(wt)
y(t) = r sin(wt)
z(t) = v_zt

Drücken Sie obige Gleichungen in Zylinderkoordinaten aus.

Die Lösung ist:

r(t) = r
phi(t) = wt
z(t) = v_zt

Mir ist die Identität: (r =(x2+y2)^1/2) bekannt und auch die Lösung ist intuitiv klar, aber wie kommt man mathematisch drauf, durch etwaliges umformen oder sind das logische Zusammenhänge?

Answer 1

Hallo,

viel zu rechnen gibt es hier nicht.

Zylinderkoordinaten sehen so aus:

$$\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r(t)cos(\varphi(t))\\r(t)sin(\varphi(t))\\z(t) \end{pmatrix}$$

und das stimmt exakt mit der gegebenen Trajektorie überein.

Grund: Das ist ne Bewegung auf ner Schraubenlinie, hat also eine Zylindersymmetrie.

Du musst nur noch die Argumente  (z.B phi= wt) ablesen.

Um r(t) zu berechnen könntest du auch deine Formel nehmen:

$$r(t) =(x(t)^2+y(t)^2)^{1/2}=(r^2(sin^2(wt))+cos^2(wt))^{1/2}=(r^2)^{1/2}=r$$

Aufgrund des trigonometrischen Pythagoras.