Technische Mechanik gedrehte Bezugsachsen

Question

Aufgabe:

Für ein zusammen geschweißtes Profil wie skizziert, sollen die Flächenträgheitsmomente \( I_{y}, I_{z} \) und \( I_{y z} \) bestimmt werden. Das Profil hat in jedem Teilbereich die Dicke \( b \).

Die Flächenträgheitsmomente sowie die geometrische Ausdehnung der Schweißnähte sind zu vernachlässigen.

Gegeben: \( a=30 \mathrm{~mm} ; b=5 \mathrm{~mm} ; \alpha=10^{\circ} ; \beta=15^{\circ} \)

Ansatz/Problem:

Im Buch stehen hierzu folgende Formeln:

Flächenträgheitsmomente für gedrehtes Bezugssystem:
\( \begin{array}{l} I_{\mathrm{\eta}}=\frac{I_{\mathrm{y}}+I_{\mathrm{z}}}{2}+\frac{I_{\mathrm{y}}-I_{\mathrm{z}}}{2} \cdot \cos 2 \alpha+I_{\mathrm{yz}} \cdot \sin 2 \alpha \\ I_{\zeta}=\frac{I_{y}+I_{\mathrm{z}}}{2}-\frac{I_{y}-I_{\mathrm{z}}}{2} \cdot \cos 2 \alpha-I_{\mathrm{yz}} \cdot \sin 2 \alpha \\ I_{\mathrm{\eta}_{\zeta}}=-\frac{I_{\mathrm{y}}-I_{\mathrm{z}}}{2} \cdot \sin 2 \alpha+I_{\mathrm{yz}} \cdot \cos 2 \alpha \end{array} \)

Muss ich mit den Formeln für die gedrehten Flächen die I´s berechnen und dann alle Iy´s addieren?

Comments

Allgemeine Vorgehensweise:

1. Einteilen des Querschnitts in einfache, bekannte Teilflachen (sind hier nur 3 einzelne Rechtecke)

2. Ggf. Berechnung des Flächenschwerpunkts (kennt man hier)

3. Berechnung der Flächenträgheitsmomente für die Teilflächen

(mittels Integration oder aus Tabelle entnehmen)

4. Ggf. drehen der lokalen Koordinatensysteme auf das globale Koordinatensystem x*,y* (hier notwendig)

5. Satz von Steiner

6. Addieren der einzelnen Anteile

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Ist das so richtig? formel von hier: https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_281/modul_2/teil_6/node80.html

bin echt verzweifelt... es hapert einfach nur an dieser doofen drehung

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Bzw. laut dem Buch, wo die 3 Formel gegebn waren, ist ja I_y=I_η  , somit kann ich ja eig mit den berechneten Flächenträgheitsmomenten für die beiden Schrägen teile einfach die formeln benutzen?

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Also, wie ich das früher gelernt habe, sind im Grunde nur die vertikalen Abstände zwischen den Schwerpunkten der Teilflächen zum Schwerpunkt der Bezugsteilfläche der Knackpunkt. Und hierbei gehen die Winkel ein.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Flächenträgheitsmomente für das zusammengesetzte Profil

Um die Flächenträgheitsmomente \(I_{y}, I_{z}\) und \(I_{yz}\) für das gegebene Profil zu berechnen, muss man zunächst die Trägheitsmomente der einzelnen Profilabschnitte ermitteln und dann zusammensetzen. Da die Schweißnähte vernachlässigt werden sollen und das Material überall die gleiche Dicke \(b\) aufweist, können Standardformeln für die Trägheitsmomente angewendet und dann die Steiner'schen Sätze für die Verschiebung der Achsen genutzt werden.

Analyse des Profils und Anwendung der Steiner'schen Anteile

Das Profil besteht aus drei Abschnitten: zwei geneigte Abschnitte (mit den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\)) und einem horizontalen Abschnitt in der Mitte. Das Problem wird vereinfacht, indem man annimmt, dass alle Abschnitte rechteckige Querschnitte haben.

Standardformeln für rechteckige Querschnitte

Für einen rechteckigen Querschnitt mit der Breite \(b\) und der Höhe \(h\) (in diesem Fall ist die Dicke \(b\) und die Höhe ändert sich je nach Abschnitt) sind die Flächenträgheitsmomente bezüglich der eigenen Zentralachsen \(y'\) und \(z'\):

- \(I_{y'} = \frac{1}{12} b h^3\)

- \(I_{z'} = \frac{1}{12} h b^3\)

Da hier alle Teile die gleiche Dicke \(b\) haben, und die Höhen \(a\) bzw. die Projektionen von \(a\) sind, variieren die \(I_{y'}\) und \(I_{z'}\) Anteile je nach Abschnitt.

Berücksichtigung der Winkel

Die Transformation der Achsen gemäß den vorgegebenen Winkeln (\(\alpha\) und \(\beta\)) erfordert die Anwendung der Transformationsformeln für Flächenträgheitsmomente, wie im Aufgabenansatz angegeben.

Jedoch, vor der Anwendung dieser Formeln, ist es notwendig, die Grund-Trägheitsmomente \(I_{y}, I_{z}\) und \(I_{yz}\) für das gesamte Profil zu bestimmen, ohne Achsentransformationen durchzuführen.

Anfangsschritt: Ermittlung der \(I_{y}, I_{z}\) und \(I_{yz}\) des gesamten Profils

Die direkte Anwendung der gegebenen Formeln für die gedrehten Flächenträgheitsmomente (ohne die Grundwerte \(I_{y}, I_{z}\) und \(I_{yz}\) zu kennen) ist nicht möglich. Zuerst sollten Sie:

1. Die Trägheitsmomente der einzelnen Teilflächen für ihre eigenen Zentrumsachsen (\(I_{y'}, I_{z'}\)) berechnen, wobei die Rechteckformel verwendet wird.

2. Anwenden des Steiner'schen Satzes, um diese Teilflächen auf das gemeinsame Koordinatensystem des gesamten Profils zu beziehen.

3. Alle \(I_{y}\) und \(I_{z}\) der einzelnen Teile zusammenaddieren, da diese bereits auf das gemeinsame Koordinatensystem bezogen sind. \(I_{yz}\) würde nur dann berücksichtigt, wenn es eine Schieflage zwischen den Teil-Profilen gäbe, was hier nicht näher spezifiziert ist.

Wichtige Beobachtung

Bei dieser spezifischen Aufgabenstellung wurde jedoch nicht konkret angefragt, wie diese Teilberechnungen durchzuführen sind. Um \(I_{y}, I_{z}\) und \(I_{yz}\) korrekt zu ermitteln:

- Zerlegen Sie das Profil in seine Teile
- Berechnen Sie die Trägheitsmomente für jeden Teil
- Verschieben Sie diese Trägheitsmomente in das gemeinsame Koordinatensystem mittels des Steiner'schen Satzes
- Addieren Sie die Trägheitsmomente der einzelnen Teile

Zusatzinformation

Die eigentliche Berechnung von \(I_{\eta}, I_{\zeta}, I_{\eta\zeta}\) nach der Bestimmung der Grund-Trägheitsmomente würde die direkte Anwendung der angegebenen Transformationsformeln mit den spezifischen Winkelwerten erfordern, die jedoch in Ihrer Frage nicht unmittelbar zum Einsatz kommen, da zunächst die Basiswerte \(I_{y}, I_{z}, I_{yz}\) benötigt werden.