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Lösungsansatz
Um die Größe der auf den Balken wirkenden Streckenlast \(q\) zu bestimmen und die Verschiebung des Punktes G zu berechnen, wenn nur im Seil EB Fließen verursacht wird, gehen wir schrittweise vor.
Schritt 1: Kräftebilanzierung
Angenommen, das gesamte System ist im Gleichgewicht. Die vertikalen Komponenten der Kräfte in den Seilen müssen der Wirkung der Streckenlast \(q\) auf den Balken entsprechen. Die Belastung \(q\) wird entlang des Balkens mit der Länge \(L = 800 \, \text{mm}\) als gleichmäßig verteilt angenommen. Die resultierende Kraft aus der Streckenlast ist \(q \cdot L\).
Schritt 2: Bestimmung der Kräfte in den Seilen
Für den speziellen Fall, dass das Seil EB zu fließen beginnt, erreicht die Spannung im Seil EB die Streckgrenze \(R_e\). Die Spannung ist definiert als Kraft geteilt durch Querschnittsfläche (\(\sigma = \frac{F}{A}\)). Für ein Seil mit Durchmesser \(d\) beträgt die Querschnittsfläche \(A = \frac{\pi d^2}{4}\).
Für Seil EB bei der Streckgrenze gilt:
\( \sigma_{EB} = R_e = \frac{F_{EB}}{A} \)
\( F_{EB} = A \cdot R_e = \frac{\pi d^2}{4} \cdot R_e \)
Setzen wir \(d = 4 \, \text{mm}\) und \(R_e = 500 \, \text{MPa}\), erhalten wir:
\( F_{EB} = \frac{\pi (4)^2}{4} \cdot 500 \, \text{MPa} \)
Da \(1 \, \text{MPa} = 1 \, \text{N/mm}^2\), ergibt sich:
\( F_{EB} = \frac{\pi (16)}{4} \cdot 500 = 4\pi \cdot 500 = 2000\pi \, \text{N} \)
Schritt 3: Gleichgewicht und Fließen im Seil EB
Da das Seil EB zu fließen beginnt und das System im Gleichgewicht ist, muss die Streckenlast \(q\) so sein, dass die Resultierende der Streckenlast mit der Kraft im Seil EB (und der Reaktion im Seil sowie im Gelenk A, um das Gleichgewicht zu halten) übereinstimmt.
Da die genaue Verteilung der Kräfte komplex ist und von der Geometrie und den Annahmen zur Lastverteilung abhängt, konzentrieren wir uns auf die Berechnung der Verschiebung des Punktes G.
Schritt 4: Verschiebung des Punktes G
Für die Verschiebung des Punktes G aufgrund der Dehnung im Seil EB können wir die Beziehung \( \delta = \frac{F L}{A E} \) verwenden. \(L\) ist hier die Länge von Seil EB, die \(L2 + L3\) entspricht.
Wir setzen die Werte ein:
\( \delta = \frac{2000\pi \cdot (250+150)}{\frac{\pi (4)^2}{4} \cdot 200 \times 10^3} \)
Vereinfachend erhalten wir:
\( \delta = \frac{2000 \cdot 400}{16 \cdot 200 \times 10^3} = \frac{800,000}{3,200,000} \)
\( \delta = 0.25 \, \text{mm} \)
Damit ergibt sich, dass die Verschiebung des Punktes G \(0.25 \, \text{mm}\) beträgt, unter der Annahme, dass die Kraft im Seil EB so groß ist, dass sie gerade das Fließen verursacht, ohne die relative Verteilung der Streckenlast \(q\) detailliert zu berücksichtigen.
