Fließspannung: System besteht aus zwei Stäben des gleichen elasto-plastischen Materials mit ...

Question

Aufgabe:

Das dargestellte System besteht aus zwei Stäben des gleichen elasto-plastischen Materials mit unterschiedlichen Querschnitten.

a) Bei welcher Kraft $F_{\max }$ und in welchem Stab wird die Fliefspannung $\sigma_{f}$ zuerst erreicht?

b) Bei welcher Kraft fliefen beide Stäbe?

c) Wie groß ist die Verschiebung $u_{\max }$ von $\mathrm{C}$ im Fall a)?

$\begin{array}{l}\text { Geg: } \\ E_{1}=E_{2}=E \\ A_{1}=A \\ A_{2}=2 A \\ \sigma_{F}, \ell\end{array}$

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Fließgrenze ermitteln

Um die Fragen zu beantworten, müssen wir die Eigenschaften beider Stäbe detailliert betrachten und verstehen, wie die mechanischen Spannungen in den Stäben aufgrund der angelegten Kraft $F$ wirken.

a) Bei welcher Kraft $F_{\max}$ und in welchem Stab wird die Fließspannung $σ_{F}$ zuerst erreicht?

Die Spannung in einem Stab wird durch die Formel $σ = \frac{F}{A}$ bestimmt, wobei $σ$ die Spannung, $F$ die Kraft und $A$ die Querschnittsfläche ist.

Da Stab 2 eine doppelte Querschnittsfläche von Stab 1 hat ($A_2 = 2A$), wird er bei derselben Kraft nur die Hälfte der Spannung von Stab 1 erfahren. Daher erreicht Stab 1 zuerst die Fließspannung $σ_{F}$.

Die Kraft $F_{\max}$, bei der die Fließspannung zuerst in Stab 1 erreicht wird, kann durch Umstellung der Spannungsformel bestimmt werden:
$F_{\max} = σ_{F} \cdot A_1 = σ_{F} \cdot A$

b) Bei welcher Kraft fließen beide Stäbe?

Um die Kraft zu bestimmen, bei der beide Stäbe fließen, nutzen wir wieder die Spannungsformel. Da beide Stäbe aus dem gleichen Material sind, müssen wir nach der Kraft $F$ suchen, die in beiden Stäben die gleiche Spannung $σ_{F}$ erzeugt.

Für Stab 2 gilt:
$σ_{F} = \frac{F}{A_2} = \frac{F}{2A}$

Um die Fließspannung in beiden Stäben zu erreichen, muss die Kraft $F$ folgendermaßen sein:
$F = σ_{F} \cdot A_2 = σ_{F} \cdot 2A$

Daher ist die Kraft, bei der beide Stäbe fließen, $F = σ_{F} \cdot 2A$.

c) Wie groß ist die Verschiebung $u_{\max}$ von $\mathrm{C}$ im Fall a)?

Die Verschiebung in einem Stab, der elasto-plastisch verformt wird, kann bei Erreichen der Fließgrenze durch Betrachtung des elastischen Bereiches bestimmt werden, da die Dehnung im plastischen Bereich nicht mehr linear abhängig von der Kraft ist und ohne spezifische plastische Eigenschaften schwierig direkt zu berechnen ist. Die Dehnung ($ε$) im elastischen Bereich bis zur Fließgrenze ergibt sich aus:

$ε = \frac{σ}{E}$

Die Längenänderung (Verschiebung $u$) für Stab 1, der die Länge $\ell$ hat, bis zur Fließgrenze, kann mit folgender Formel berechnet werden:
$u = ε \cdot \ell = \frac{σ_{F}}{E} \cdot \ell = \frac{F_{\max}}{A \cdot E} \cdot \ell$

Setzen wir $F_{\max} = σ_{F} \cdot A$ aus Teil a) in diese Gleichung ein:
$u_{\max} = \frac{σ_{F} \cdot A}{A \cdot E} \cdot \ell = \frac{σ_{F}}{E} \cdot \ell$

Zusammenfassend haben wir:

- a) Die Kraft $F_{\max} = σ_{F} \cdot A$, bei welcher Stab 1 zuerst die Fließgrenze erreicht.
- b) Beide Stäbe fließen bei der Kraft $F = σ_{F} \cdot 2A$.
- c) Die maximale Verschiebung von C im Fall a) ist gegeben durch $u_{\max} = \frac{σ_{F}}{E} \cdot \ell$.