Gravitationskraft von einem Satelliten

Question

Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe bin ich mir unsicher und habe auch keine Lösungen, welche ich zur Sicherheit brauchen könnte:

Für diese Aufgabe können Sie verwenden, dass der Radius der Erde R = 6.37 · 103 km und die
Masse der Erde M = 5.97 · 1024 kg betragen. 

 Ein Satellit von 600 kg Masse bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Erde. Der Radius seiner Bahn ist 4.22 · 104 km.

a) Welche Kraft übt die Erde auf den Satelliten aus.

Mein Lösungsansatz: FG= G * (m1m2/r²)

Jetzt habe ich ja 2 Radien angegeben. Muss ich hier nur den Radius der Erde nehmen oder auch den Radius der Bahn des Satelliten?

So würde mein Rechenweg aussehen (Ich lasse jetzt die Einheiten weg)

6.674 * 10^-11 * (5.97* 10²⁴ * 600 / 6370000²) = 5891.6 N

b) Errechne die Kraft mit der Gewichtskraft des Satelliten an der Erdoberfläche.

-> Hier habe ich absolut keinen Lösungsansatz. Ich glaube das währe Lösung a) weil hier der Radius der Laufbahn des Satelliten nicht zu berücksichtigen ist... oder?

c) Welche Geschwindigkeit muss der Satellit haben?

Welche Formel würdet Ihr empfehlen? Ich würde dies mit der Zentripetalkraft berechnen, also F=(m * v²)/r
-> v² = (m*F) / r .. Bin ich auf dem richtigen Weg?

d) Wie lange braucht ein Satellit für einen Umlauf (resultat auch in Stunden angeben)

Hier würde ich zu dem Kepler'schen Gesetzen greifen .. also a³/T² = (G*m)/ (4*Pi²) und ist die Umwandlung der Formel Korrekt wenn ich jetzt einfach T² = (G*m)/ (4*Pi²) * a³ rechne? 

e) Die Bahn dieses Satelliten liegt in der Ebene durch den Äquator der Erde. Was bedeutet das bei d) gefundene Resultat? 

-> Dann kann ich quasi sagen, dass es ein Standortsatellit ist und sich immer am gleichen Punkt befinden muss und darum vielleicht 24h für eine Umrundung benötigt.. Je nach dem was für eine Lösung bei d) ist.

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Ich wäre um jedes Resultat glücklich, so kann ich selbstständig auch einwenig versuchen, der Lösungsweg dazu wäre natürlich Spitzenklasse! Vielen Dank und Grüsse

Answer 1

Für diese Aufgabe können Sie verwenden, dass der Radius der Erde R = 6.37·10^6 m und die

Masse der Erde M = 5.97·10^24 kg betragen.

Ein Satellit von 600 kg Masse bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Erde. Der Radius seiner Bahn ist 4.22·10^7 m.

a) Welche Kraft übt die Erde auf den Satelliten aus.

F = G·M·m/r^2 = (6.6743·10^{-11} m^3/(kg·s^2))·(5.97·10^24 kg)·(600 kg)/(4.22·10^7 m)^2

F = 134.2 N

b) Errechne die Kraft mit der Gewichtskraft des Satelliten an der Erdoberfläche.

F = m·g = (600 kg)·(9.81 m/s^2) = 5886 N

F = G·M·m/r^2 = (6.6743·10^{-11} m^3/(kg·s^2))·(5.97·10^24 kg)·(600 kg)/(6.37·10^6 m)^2

F = 5892 N

c) Welche Geschwindigkeit muss der Satellit haben?

F = m·v^2/r

v = √(F·r/m) = √((134.2 N)·(4.22·10^7 m)/(600 kg)) = 3072 m/s

d) Wie lange braucht ein Satellit für einen Umlauf?

t = 2·pi·r/v = 2·pi·(4.22·10^7 m)/(3072 m/s) = 86312 s = 23.98 h

e) Die Bahn dieses Satelliten liegt in der Ebene durch den Äquator der Erde. Was bedeutet das bei d) gefundene Resultat?

Es handelt sich hier um einen Geostationären Satelliten. Z.B. die Fernsehsatelliten wie Astra sind geostationär.