Hallo Felix,
solche Aufgabe löst man besten über die Energieerhaltung.
a) Die Potentielle Energie der Masse ist am Anfang der Bewegung \(E=E_{pot} = m \cdot g \cdot h\). Wobei \(h\) der Abstand der Masse zum Zeitpunkt \(t=0\) über der entspannten Feder ist. Ist die Feder durch das Auftreffen der Masse um den Weg \(s\) zusammen gedrückt, so ist die dort gespeicherte Energie \(E_F=\frac12 D \cdot s^2\). Bleibt noch zu berücksichtigen, dass die potentielle Energie, die in Federenergie umgesetzt wird, noch proportional zur zusammengedrückte Strecke ansteigt. Es ist also:
$$ \begin{aligned} m \cdot g \cdot (h+s) &= \frac12 \cdot D \cdot s^2 \\ 0 &= \frac12 \cdot D \cdot s^2 - m \cdot g \cdot s - m \cdot g \cdot h \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \Rightarrow s_{1,2} &= \frac{mg \pm \sqrt{(mg)^2 + 2mghD}}{D} \\ &= \frac{2 \cdot 9,81 \text{N} \pm \sqrt{(2 \cdot 9,81 \text{N})^2 + 4 \cdot 9,81 \text{N} \cdot 0,4 \text{m}\cdot 1960 \frac{\text{N}}{\text{m}}}}{1960 \frac{\text{N}}{\text{m}}} \\ &\approx 0,01 \text{m} \pm 0,09 \text{m} \end{aligned}$$ da \(s>0\) sein muss, bleibt nur die Lösung \(s=s_1 \approx 0,01\text{m} + 0,09\text{m} = 0,1\text{m}\).
b) die maximale Geschwindigkeit erreicht die Masse genau dann, wenn sie gerade nicht durch die Feder abgebremst wird; d.h. die Federkraft muss gleich der Gewichtskraft sein. Also
$$D \cdot s = m \cdot g \quad \Rightarrow s = \frac{m \cdot g}{D} = \frac{2 \cdot 9,81 \text{N}}{1960 \frac{\text{N}}{\text{m}}} \approx 0,01\text{m}$$ Die Feder muss als ca. \(1\text{cm}\) zusammen gedrückt sein, wenn die Masse ihre Maximalgeschwindigkeit erreicht.
c) wieder über die Energieerhaltung. Die potentielle Energie wurde in Geschwindigkeits- und Federenergie umgesetzt - also:
$$m \cdot g \cdot (h + s) = \frac12 m \cdot v^2 + \frac12 D \cdot s^2$$
$$\Rightarrow v = \sqrt{ \frac{m \cdot g \cdot (h + s) - \frac12 D \cdot s^2}{ \frac12 m} } = \sqrt{ 2g \cdot (h + s) - \frac{D}{m} \cdot s^2} \approx 6,27 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$
Gruß Werner
