Federpendel. Bestimmen sie die Höhe der Kugel als Funktion der Zeit.

Question

Eine Metallkugel ist an eine Feder aufgehängt und schwingt sinusförmig zwischen 10 cm und 50 cm über dem Boden auf und ab. Zum Zeitpunkt t0 = 0s befindet sich die Metallkugel 40cm über dem Boden und bewegt sich aufwärts. Zum Zeitpunkt t1 = 0,1 s befindet sie sich erstmals 50cm über dem Boden. Bestimmen sie die Höhe der Kugel als Funktion der Zeit. Zu welchem Zeitpunkt t > 0 erreicht die Kugel zum ersten mal ihre minimale Höhe?

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Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

,,Eine Metallkugel ist an eine Feder aufgehängt und schwingt sinusförmig zwischen 10cm und 50cm über dem Boden auf und ab. Zum Zeitpunkt  befindet sich die Metallkugel 40cm über dem Boden und bewegt sich aufwärts. Zum Zeitpunkt  befindet sie sich erstmals 50cm über dem Boden. Bestimmen Sie die Höhe der Kugel als Funktion der Zeit. Zu welchem Zeitpunkt  erreicht die Kugel zum ersten Mal ihre minimale Höhe? "

Soweit bin ich bis jetzt:

Ich habe die allgemeine Funktion für harmonische Schwingungen genommen also :

y(t)=  ŷ * sin( ω * t + φ_o  )

Für ŷ habe ich 50

Für ω habe ich 10/3 π      ( also 2π/ T = 2π/ 0,6 = 10/3 π )

Und weiter komme ich nicht ..

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Die Kugel schwingt nicht um y = 0 herum.

Answer 1

f(x) = 30 + 20·sin(a·x + b)

f(0) = 40 --> b = pi/6

f(0.1) = 50 --> a = 10/3·pi

f(x) = 30 + 20·sin(10/3·pi·x + pi/6)

Skizze

~plot~ 30 + 20*sin(10/3*pi*x + pi/6);[[0|1|0|60]] ~plot~

Comments

Danke für die Antwort, kannst du mir aber auch den Ansatz erklären?

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Die allgemeine Sinusfunktion lautet

f(x) = a * SIN(b * x + c) + d

Was bedeuten dabei die Parameter

a:

b:

c:

d:

Kannst du das selber mit deinem Mathebuch oder Google beantworten ?

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Ach danke jetzt habe ich es wieder in Erinnerung :)

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Ich hab jetzt durch Google das herausgefunden:

. a darf nicht Null sein

. darf nicht kleiner oder gleich Null sein

darf jeden beliebigen Wert haben

Woher  10/3* pi  kommt verstehe ich, also ich denke von 2* pi / T

Aber woher kommt pi/6 ?

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Hm. Du könntest aufschreiben was die Parameter bedeuten.

Mein Ansatz war

f(0) = 40

Was bedeutet dies als Gleichung? 

Und was kommt für b heraus, wenn du die Gleichung löst?

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Also f(0)= 40 bedeutet ja, dass die Kugel zum Zeitpunkt t=0 = 0s eine Höhe von 40 cm über dem Boden hat.

Also irgendwas mache ich falsch, denn ich bekomme folgendes raus:

f(0): 30+20 * sin(a*0+b) = 40

<=> 30+20 * sin(b) = 40         | -30

<=> 20 * sin(b) = 10               | : 20

<=> sin(b) = 0,5                     | sin^-1

<=> b = 30

Aber beim Kontrollergebnis bekomme ich 40 raus, 30+20 * sin ( a* 0 + 30) = 40

Und für f(0,1): 30 + 20 * sin( a * 0,1 +30) = 50   | -30

<=> 20* sin(a*0,1+30) = 20                                | : 20

<=> sin(a*0,1 + 30) = 1                                       | sin^-1

<=> a*0,1 + 30 = 90                                            | -30

<=> a*0,1 = 60                                                    | : 0,1

<=> a = 600

Und das Kontrollergebnis stimmt auch: 30+20 * sin(600*0,1+30) = 50

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sin(b) = 0,5                     | sin^-1

<=> b = 30

Achtung: Dein TR steht hier im Gradmaß. Hat man eine Trigonometrische Funktion wird eigentlich immer im Bogenmaß gerechnet. Nur wenn Winkel zu bestimmen sind oder Winkel gegeben sind dann benutzt man das Gradmaß.

30° = 30/180*pi = pi/6

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Achso.. da wäre ich wirklich nie drauf gekommen..

Naja ich habe meinen TR in Bogenmaß umgestellt und habe folgende Ergebnisse bekommen:

a= 10/3 * pi

b= 1/6 * pi

Mit diesen Werten habe ich die Funktion = 10 gestellt, um die Zeit zu bekommen, an dem die Kugel ihre minimale Höhe erreicht, also:

30+20 * sin( 10/3 * pi * x + 1/6 * pi) = 10      | -30

<=> 20 * sin( 10/3 * pi * x + 1/6 * pi) = -20    | :20

<=> sin( 10/3 * pi * x + 1/6 * pi) = -1             | sin^-1

<=> 10/3 * pi * x + 1/6 * pi       = - 1/2 * pi     | - 1/6 * pi

<=> 10/3 * pi * x                     = - 2/3 * pi       | : 10/3 * pi

<=> x = -2

Beim Kontrollergebnis kommt 10 raus, 30 + 20 * sin( 10/3 * pi * (-2) + 1/6* pi) = 10

Aber bei der Aufgabe steht ja " Zu welchen Zeitpunkt t> 0 erreicht die Kugel zum ersten Mal ihre minimale Höhe?"

und mein Ergebnis ist negativ ..

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Minimale Höhe für

sin(10/3·pi·x + pi/6) = -1

Da es ja nicht nur eine Lösung gibt kannst du k·(2·pi) anfügen

10/3·pi·x + pi/6 = -pi/2 + k·(2·pi)

10/3·pi·x = - 2/3·pi + 2·pi

10/3·pi·x = 4/3·pi

x = 4/3·3/10 = 4/10 = 0.4

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Ah okay hab es jetzt geschafft, indem ich die Extremstellen ausgerechnet habe, habe dann für x= 1 raus

Und beim Kontrollergebnis kommt 10 raus, also alles richtig!

VIELEN DANK für deine Hilfe, hätte das alleine niemals geschafft

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Oh sehe deine Antwort erst jetzt, die ist deutlich einfacher

Aber ich verstehe nicht, wie du bei 10/3·pi·x + pi/6 = -pi/2 + k·(2·pi)       auf die -pi/2 kommst

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Es gilt diese Gleichung zu lösen

sin(10/3·pi·x + pi/6) = -1 

Bitte auflösen nach x.

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Okay endlich alles verstanden, tausend Dank !!!