Hallo,
betrachte die Kugel rechts, sie befindet sich in Ruhe, wenn die Gesamtkraft parallel zum Faden verläuft.
Dann findet sich der Winkel alpha auch im Kräfteparallelogramm wieder.
Dann gilt:
$$tan(\alpha)=\frac{F_{el}}{F_G}=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0d^2mg}\\$$
Den Tangens kannst du auch über die Position der Kugel ausrechnen:
$$tan(\alpha)=\frac{d}{2\sqrt{l^2-(\frac{d}{2})^2}}\\$$
Gleichsetzen und mit d^2 multiplizieren ergibt:
$$\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0mg}=\frac{d^3}{2\sqrt{l^2-(\frac{d}{2})^2}}\\$$
Das nach d auflösen ist schwierig, da eine Gleichung dritten Grades entsteht.
Da die elektrische Kraft viel kleiner als die Gewichtskraft ist, kann man die Kleinwinkelnäherung
$$tan(\alpha)\approx sin(\alpha)=\frac{d}{2l}$$
nutzen.
Dann ergäbe sich als Näherung:
$$\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0d^2mg}=\frac{d}{2l}\\(\frac{Q^2l}{2\pi\epsilon_0mg})^{1/3}=d $$
