Teilchen in Gravitationsfeld

Question

Hallo zusammen, evt kann mir bei dieser Aufgabe jemand einen Ansatz geben, mit dem man hier vorgehen muss.

Die Aufgabe ist:

Ein Teilchen unter dem Einfuss einer konstanten Kraft (z.B. eines Gravitationsfeldes) wird beschrieben
durch die Schrödingergleichung $$ i\hslash \frac { d }{ dt } \psi (x,t)=\left( -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \frac { d }{ { dx }^{ 2 } } +mgx \right) \psi (x,t) $$
Zeigen Sie, dass man sich eine Lösung dieser Gleichung aus einer Lösung $$ { \psi  }_{ 0 }(x,t) $$ der freien SG konstruieren kann:

$$ i (x,t)={ \psi  }_{ 0 }(x+g{ t }^{ 2 }/2,t){ e }^{ i\phi (t)-iaxt } $$

Wie müssen a und phi gewählt werden?

Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen :)

Answer 1

Hallo,

der Ansatz ist ja schon gegeben. Den sollst du einsetzen und dann a und phi so bestimmen, dass die Schrödingergleichung erfüllt ist. Berechne dazu erstmal die Zeitableitung und die zweifache Ortsableitung mithilfe der Kettenregel. Kürze dann alles was geht. Ich komme am Ende auf

$$ a=\frac{mg}{\hbar}\\\phi(t)=-\frac{\hbar}{6m}a^2t^3=-\frac{\hbar}{6m}a^2t^3=-\frac{mg^2}{6\hbar}t^3$$

falls ich mich nicht verrechnet habe.

Comments

also bei mir klappt es gar nicht, weil ich immer die ganzen ableitungen von psi 0 nach t und x da stehen habe. Außerdem habe ich keine Idee wie ich das x+gt^2/2 mit einbeziehen soll

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müsste das heute fertig machen, wäre also super, wenn mir da jemand kurzfristig auf die Sprünge helfen könnte.

Ich durchschaue echt nicht wie ich mit psi0 umgehen soll :(

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Die Ableitungen von PSI_0 " kürzen "sich weg, weil PSI_0 die freie SGL erfüllt, also

ihd/dt PSI_0 =-h^2/2m d^2/dx^2 PSI_0

x+gt^2 bewirkt zusätzliche Terme bei der Ableitung, Stichwort mehrdimensionale Kettenregel.

Ich hatte die auch nicht im Kopf, vergleiche doch mal die Ableitung nach der Zeit von

f(x,t)=e^{ikx-wt} sowie 

f(x+gt^2/2,t)=e^{ik[x+gt^2/2]-wt}

und verallgemeinere  !

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aber das problem ist doch, dass ich keine funktion psi0 habe, somit kann ich auch die mehrdim. kettenregel nicht anwenden, weil ich dann wieder die Ableitungen von psi 0 da stehen hätte. Und die e fkt hat doch damit gar nichts zu tun. Zumindest sehe ich das gerade nicht

PS: Also ich meine z.b. von Wikipedia die Ableitung dg/dy1. Sowas würde ja bei mir übrig bleiben. https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel

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Deswegen habe ich ja auch gesagt du sollst verallgemeinern. Das PSI_0 braucht man konkret gar nicht, mein Beispiel oben sollte dir nur als Denkanstoß  dienen. Na klar kann man da Kettenregel anwenden, weil im Argument halt nicht nur schlicht x steht sondern h(x,t)= x+gt^2/2.

Diesen Wikiartikel kann ich hierzu nicht empfehlen. Einfacher steht es hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential

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ok, in dem artikel unter Anwendung(Verkettung) steht in der letzten Zeile die partielle Ableitung von f nach x also hier von psi0 nach x und genau die ist mein Problem. Die kürzt sich nirgendwo raus

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Ich schreib mal grob auf, was ich gemacht habe:

(Alle d partiell)

linke Seite und rechte Seite ausrechnen + einsetzen , dann e^{iΦ-iaxt} wegdividieren ,steht Überall.

Dann erhalte ich als Gleichung:

ih[dpsi_0/dx *gt +dpsi_0/dt +PSI_0*(iΦ'(t)-iaxt)]

= -h^2/(2m) [d^2 psi_0/dx^2 -2iat dpsi_0/dx  -a^2 t^2psi_0]+mgx*psi_0

Da steht also links und rechts dpsi_0/dx links und rechts. Jetzt kann man per Koeffizienten Vergleich a und Φ(t) bestimmen. Hilft dir das?

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ja, danke. damit sollte es klappen :)

Ih sag nachher nochmal bescheid ob ich das selbe rausbekomme

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auf deiner linken seite ist ein t zu viel.

es sollte ih[dpsi_0/dx *gt +dpsi_0/dt +PSI_0*(iΦ'(t)-iax)] sein denke ich und du hast glaub ich beim a ein x vergessen, da

ihgt=h^2 aix/m -> a=(mgt)/(hx)

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oh, mein fehler, deins stimmt doch