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a) Berechnen Sie die Erwartungswerte der drei Komponenten des Drehimpulses \( \langle l_x\rangle,\langle l_y\rangle,\langle l_z\rangle \) für den Grundzustand eines sphärischen harmonischen Oszillators (Potential \( V \propto x^2 + y^2 + z^2) \)
Der Grundzustand eines sphärischen harmonischen Oszillators wird durch die sphärischen harmonischen Wellenfunktionen im Grundzustand, \(Y_{00}(\theta, \phi)\), beschrieben, welche isotrop ist und nicht von den Winkeln \(\theta\) und \(\phi\) abhängt. Die Drehimpulsoperatoren \(l_x\), \(l_y\), und \(l_z\) in der Quantenmechanik führen zu einer Drehung der Wellenfunktion im Phasenraum. Da der Grundzustand des sphärischen harmonischen Oszillators sphärisch symmetrisch ist, bedeutet dies, dass die Wellenfunktion in sich selbst übergeht, wenn sie gedreht wird.
Daraus folgt, dass die Erwartungswerte \( \langle l_x\rangle\), \( \langle l_y\rangle\), und \( \langle l_z\rangle \) für den Grundzustand des sphärischen harmonischen Oszillators alle Null sind, weil die Drehung um jede Achse die Wellenfunktion nicht ändert und somit keine bevorzugte Richtung für den Drehimpuls existiert. Mathematisch ausgedrückt:
\(
\langle l_x\rangle = \langle l_y\rangle = \langle l_z\rangle = 0
\)
b) Vereinfachen sie \( [l_x,l_y] \) durch Ausnutzen fundamentaler Vertauschungsrelationen.
Die fundamentalen Vertauschungsrelationen für die Drehimpulskomponenten in der Quantenmechanik lauten:
\(
[l_x, l_y] = i\hbar l_z,\quad [l_y, l_z] = i\hbar l_x,\quad [l_z, l_x] = i\hbar l_y
\)
Für die spezifische Vertauschungsrelation zwischen \(l_x\) und \(l_y\), die in der Aufgabenstellung gefragt ist, gilt also:
\(
[l_x,l_y] = i\hbar l_z
\)
c) Formulieren Sie die Unschärferelation für \(l_x,l_y\)
Analog zur Heisenbergschen Unschärferelation für Ort und Impuls können wir die Unschärferelation für die Drehimpulskomponenten \(l_x\) und \(l_y\) formulieren. Die Relation basiert auf der Vertauschungsrelation dieser Komponenten und besagt, dass es eine fundamentale Grenze gibt, wie genau diese beiden Komponenten gleichzeitig gemessen werden können. Die Unschärferelation für \(l_x\) und \(l_y\) lautet:
\(
\Delta l_x \Delta l_y \geq \frac{1}{2}|\langle [l_x, l_y] \rangle|
\)
Setzen wir die Vertauschungsrelation ein:
\(
\Delta l_x \Delta l_y \geq \frac{1}{2}|\langle i\hbar l_z \rangle|
\)
Da \(i\) die imaginäre Einheit ist und \(\hbar\) eine Konstante, hängt die untere Grenze des Produkts der Unschärfen von \(l_x\) und \(l_y\) vom Erwartungswert von \(l_z\) ab:
\(
\Delta l_x \Delta l_y \geq \frac{\hbar}{2}|\langle l_z \rangle|
\)
d) Gibt es Wellenfunktionen, für die alle drei Drehimpulskomponenten gleichzeitig scharf gemessen werden können? Wenn ja, geben Sie ein Beispiel mit entsprechender Begründung an.
In der Quantenmechanik können die drei Komponenten des Drehimpulses nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden aufgrund der oben diskutierten Vertauschungsrelationen. Dies bedeutet, dass mindestens zwei der drei Komponenten eine gewisse Unschärfe (\(\Delta\)) aufweisen müssen. Im Falle des Drehimpulses lässt sich dies durch die Heisenbergsche Unschärferelation veranschaulichen, die besagt, dass das Produkt der Unschärfen zweier Drehimpulskomponenten niemals kleiner als ein bestimmter Wert sein kann.
Eine Wellenfunktion, für die eine Drehimpulskomponente einen definierten Wert hat, ist zum Beispiel eine Eigenfunktion des entsprechenden Drehimpulsoperators. Beispielsweise sind die Eigenfunktionen des \(l_z\)-Operators, die sphärischen Harmonischen \(Y_{lm}(\theta, \phi)\), solche Wellenfunktionen, bei denen \(l_z\) einen scharfen Wert besitzt. Jedoch, selbst für diese Wellenfunktionen, sind die Werte der anderen zwei Drehimpulskomponenten \(l_x\) und \(l_y\) nicht gleichzeitig scharf definierbar.
Summa summarum, es gibt keine Wellenfunktion, für die alle drei Komponenten des Drehimpulses gleichzeitig scharf sind, weil solche Zustände im Widerspruch zu den fundamentalen Prinzipien der Quantenmechanik stehen.
