Hallo,
ich habe jetzt die Ergebnisse nicht ausgerechnet, aber diese Ansätze sollten zum Ziel führen (alles ohne Hut geschrieben):
Der Erwartungswert einer Größe berechnet sich mit Hilfe des Skalarprodukts:
$$ < A > = <\varphi|A|\varphi> $$
Also z.B beim ersten hast du
$$ < x^2 > = <\varphi|x^2|\varphi> $$
Am günstigsten ist nun die Darstellung des Ortsoperators mithilfe von Erzeugern und Vernichtern:
$$ x=\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}(a^+ + a)$$
Nun quadrieren (die binomische Formel gilt nicht, da a und a^+ nicht vertauschen)
$$ x^2={\frac{\hbar}{2mw}}((a^+)^2 + a^2 +a^+ a +aa^+)$$
Einsetzen beim Erwartungswert:
$$ < x^2 > = {\frac{\hbar}{2mw}}<\varphi|((a^+)^2 + a^2 +a^+ a +aa^+)|\varphi> $$
Nun bleibt noch phi einzusetzen. Ich geh mal davon aus, das die ψ_i die Eigenfunktionen sind.
In üblicher Schreibweise ist dann
$$ \varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}(|0>+|1>+|2>) $$
Wende nun die Auf- und Absteigeoperatoren auf die Eigenzustände an und beachte, dass
$$ < n|m >= \delta_{nm}$$
Das selbe Spiel dann für <x>.
Für den zweiten Teil brauchst du dann die Zeitentwicklung:
$$ \varphi(x,t)=U(t)\varphi(x,0)=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}\varphi(x,0)=e^{-i\omega (a^+a+1/2)t}\varphi(x,0)$$