Ortsvarianz harmonischer Oszillator

Question

Gegeben ist ein harmonischer Oszillator:

$$\hat{H}= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m}{2}\omega^2\hat{x}^2$$

$$\textrm{a) Drücken die den Hamiltonoperator durch die Leiteroperatoren } a \textrm{ und } a^+ \textrm{ aus.}$$

b) Sei nun ein Zustand

$$\varphi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{3}}(\psi_0(x)+\psi_1(x)+\psi_2(x))$$

gegeben.

Bestimmen sie

$$\sigma^2=\langle \hat{x}^2(0)\rangle - \langle\hat{x}(0)\rangle^2$$

und 

$$\sigma^2(t)=\langle \hat{x}^2(t)\rangle - \langle\hat{x}(t)\rangle^2$$

Aufgabe a) kann ich lösen.

Aber bei b) fehlt mir der Ansatz. Ich weiß, dass ich x als Komposition der Absteigeoperatoren darstellen kann und ich weiß, dass man auch die Wellenfunktionen iterativ über diese Operatoren definieren kann.

Aber weiter komme ich nicht...

Answer 1

Hallo,

ich habe jetzt die Ergebnisse nicht ausgerechnet, aber diese Ansätze sollten zum Ziel führen (alles ohne Hut geschrieben):

Der Erwartungswert einer Größe berechnet sich mit Hilfe des Skalarprodukts:

$$< A > = <\varphi|A|\varphi>$$

Also z.B beim ersten hast du

$$< x^2 > = <\varphi|x^2|\varphi>$$

Am günstigsten ist nun die Darstellung des Ortsoperators mithilfe von Erzeugern und Vernichtern:

$$x=\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}(a^+ + a)$$

Nun quadrieren (die binomische Formel gilt nicht, da a und a^+ nicht vertauschen)

$$x^2={\frac{\hbar}{2mw}}((a^+)^2 + a^2 +a^+ a +aa^+)$$

Einsetzen beim Erwartungswert:

$$< x^2 > = {\frac{\hbar}{2mw}}<\varphi|((a^+)^2 + a^2 +a^+ a +aa^+)|\varphi>$$

Nun bleibt noch phi einzusetzen. Ich geh mal davon aus, das die ψ_i  die Eigenfunktionen sind.

In üblicher Schreibweise ist dann

$$\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}(|0>+|1>+|2>)$$

Wende nun die Auf- und Absteigeoperatoren auf die Eigenzustände an und beachte, dass

$$< n|m >= \delta_{nm}$$

Das selbe Spiel dann für <x>.

Für den zweiten Teil brauchst du dann die Zeitentwicklung:

$$\varphi(x,t)=U(t)\varphi(x,0)=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}\varphi(x,0)=e^{-i\omega (a^+a+1/2)t}\varphi(x,0)$$

Comments

Vielen Dank! Du rettest mir den Tag...

Ich bin allerdings noch nicht so sehr mit der Bra-Ket Notation vertraut.

Könntest du beispielhaft einmal einen Aufsteigeoperator auf eine Eigenfunktion in dieser Schreibweise anwenden?

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Ok, ich mach mal den hinteren Summanden :

(gemäß 

https://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugungs-_und_Vernichtungsoperator#B…

)

$$<\varphi|aa^+|\varphi>=\frac{1}{3} (<0|+<1|+<2|)aa^+(|0>+|1>+|2>)\\=\frac{1}{3} (<0|+<1|+<2|)a(|1>+\sqrt{2}|2>+\sqrt{3}|3>)\\=\frac{1}{3} (<0|+<1|+<2|)(|0>+2|1>+3|2>)\\=\frac{1}{3} (<0|0>+2<1|1>+3<2|2>)=2$$

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Danke!

Eine letzte Frage: Wirken die Operatoren immer nur auf die Kets und nicht auf die Bras?

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Also beim ausrechnen lasse ich die immer auf die Kets wirken. Dann kann man die regeln von Wikipedia nehmen ;). Wenn man die Operatoren auf die Bra-Vektoren wirken lässt, muss man beachten, dass sich die Regeln gerade umkehren. Daher es ist

$$< n|a=< n+1|\sqrt{n+1}\\< n|a^+=< n-1|\sqrt{n}\\$$

Dann kommen am Ende auch die selben Ergebnisse raus.

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Vielen Dank!

Sehr hilfreiche antworten, sehr gut erklärt! :)

Vielleicht komme ich morgen nochmal auf deine Hilfe zurück.

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Guten Morgen!

Noch eine Frage zum "zweiten Teil"...

Funktioniert die Rechnung äquivalent zu dem Teil davor oder ändern die Auf-/Absteige-Operatoren auch etwas an der Exponentialfunktion?

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Könntest du das vielleicht wieder für einen Summanden ausrechnen?

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Ja, die Exponentialfunktion ändert was. Da dort im Argument unter anderem a⁺a steht, ist die Exponentialfunktion wieder ein Operator. Um den aus zurechnen musst du die Exponentialreihe

nehmen: e^A=1+A+A²/2 +...

Nun ist a⁺a =n^{^} der Besetzungszahloperator, daher

es ist n^{^} |n>=n|n>

Damit kannst du die Reihe ausrechnen und danach den Erwartungswert von

dem Zeug ausrechnen ;). Im Moment bin ich nicht am Computer, aber später kann ich das vielleicht noch machen.

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Danke! Ich werde mal versuchen damit zu rechnen.

Aber es wäre super, wenn du nachher noch kurz Zeit findet könntest das zu machen. :)

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Zuerst rechnet man

$$\varphi(x,t)=e^{-i\omega ( \hat n+1/2)t}\varphi(x,0)\\=\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{-i\omega t}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-i\omega t)^k}{k!}}\hat n^k(|1>+|2>+|3>)\\=\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{-i\omega t}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-i\omega t)^k}{k!}}(|1>+2^k|2>+3^k|3>)\\=\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{-i\omega t}{2}}(e^{-i\omega t}|1>+e^{-2i\omega t}|2>+e^{-3i\omega t}|3>)\\$$

Und jetzt geht es wie beim ersten Teil weiter.

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Dankeschön!

Stehen die 0,1,2,3 in den Kets für 

$$\varphi(x,t)$$

gemäß deiner Definition für phi(x,t) in der ursprünglichen Antwort, oder für 

$$\varphi(x,0)?$$

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Die kommen von

$$\varphi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{3}}(|0>+|1>+|2>)$$

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Danke - wer lesen kann ist klar im Vorteil.

Wirken sich die Auf-/Absteigeoperatoren denn auch irgendwie auf die "n"s in den Exponentialfunktionen aus? Man wird die Exponentialfunktionen ja nicht einfach nur "mitschleppen" und einfach so rechnen wie beim ersten Teil, oder?

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Die e-Terme hab ich ja schon ausgerechnet, den Besetzungszahloperator habe ich ja schon aufgelöst indem die Eigenwertbeziehung genutzt wurde. Im Endergebnis

stehen dann nur noch normale Faktoren e^....mit Zahlen drin, die kannst du vor das Skalarprodukt ziehen. 

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Das ergibt Sinn! Vielen Dank für alles! :)