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Technische Rechenaufgabe zeichnerisch und rechnerisch zu lösen.

Ein zentrales Kräftesystem besteht aus den Kräften F1=320N, F2=180N, F3=250N, die unter den Winkeln α1=35°, α2=55°, α3=160° zur positiven x-Achse wirken. Es soll durch die zwei Kräfte FA und FB im Gleichgewicht gehalten werden, die mit der positiven x-Achse die Winkel αA=225° und αB=270° einschließen.

a) Wie groß sind FA und FB?

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Antwort mit KI erzeugt

Zentrales Kräftesystem: Ermittlung unbekannter Kräfte

Um die unbekannten Kräfte \(F_A\) und \(F_B\) zu finden, müssen wir das gegebene Kräftesystem so ergänzen, dass es sich im Gleichgewicht befindet. Das bedeutet, die Summe aller Kräfte in x-Richtung sowie in y-Richtung muss null ergeben. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten somit:

\( \sum F_x = 0 \)
\( \sum F_y = 0 \)

Beginnen wir damit, die x- und y-Komponenten jeder im Problem gegebenen Kraft zu bestimmen. Dazu verwenden wir die Tatsache, dass \(F_x = F \cos(\alpha)\) und \(F_y = F \sin(\alpha)\), wobei \(\alpha\) der Winkel zur positiven x-Achse ist. Für jede Kraft berechnen wir somit:

- Für \(F_1 = 320N\) und \(\alpha_1 = 35°\):
\( F_{1x} = 320 \cos(35°) \)
\( F_{1y} = 320 \sin(35°) \)

- Für \(F_2 = 180N\) und \(\alpha_2 = 55°\):
\( F_{2x} = 180 \cos(55°) \)
\( F_{2y} = 180 \sin(55°) \)

- Für \(F_3 = 250N\) und \(\alpha_3 = 160°\):
\( F_{3x} = 250 \cos(160°) \)
\( F_{3y} = 250 \sin(160°) \)

Nun können wir die Berechnungen durchführen:

- \(F_{1x} = 320 \cos(35°) \approx 262.4N\)
- \(F_{1y} = 320 \sin(35°) \approx 183.4N\)

- \(F_{2x} = 180 \cos(55°) \approx 103.1N\)
- \(F_{2y} = 180 \sin(55°) \approx 147.5N\)

- \(F_{3x} = 250 \cos(160°) \approx 250 \times -0.766 = -191.5N\)
- \(F_{3y} = 250 \sin(160°) \approx 250 \times 0.643 = 160.7N\)

Für die Unbekannten \(F_A\) und \(F_B\):

- \(F_{Ax} = F_A \cos(225°)\)
- \(F_{Ay} = F_A \sin(225°)\)
- \(F_{Bx} = F_B \cos(270°)\)
- \(F_{By} = F_B \sin(270°)\)

Da \(\cos(225°) = -\sqrt{2}/2\) und \(\sin(225°) = -\sqrt{2}/2\), und \(\cos(270°) = 0\) und \(\sin(270°) = -1\), setzen wir unsere Gleichgewichtsbedingungen ein, wobei wir wissen, dass \(F_{Bx} = 0\) weil cos(270°) = 0:

\( \sum F_x = 262.4 + 103.1 - 191.5 + F_A(-\sqrt{2}/2) = 0 \)
\( \sum F_y = 183.4 + 147.5 + 160.7 + F_A(-\sqrt{2}/2) + F_B(-1) = 0 \)

Daraus folgt:
- Für \(F_x\): \(174N + F_A(-\sqrt{2}/2) = 0\)
- Für \(F_y\): \(491.6N + F_A(-\sqrt{2}/2) + F_B(-1) = 0\)

Nach \(F_A\) und \(F_B\) aufgelöst:

1. \(F_A(-\sqrt{2}/2) = -174N\) \(\Rightarrow\) \(F_A = \frac{-174}{-\sqrt{2}/2} = \frac{174 \sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 348/\sqrt{2} \approx 246.0N\)

2. Setzen wir \(F_A\) in die zweite Gleichung ein:
\( 491.6 - 246.0 + F_B = 0 \)
\(F_B = -245.6N\) (Da \(F_{By}\) negativ ist und in die negative Richtung der y-Achse zeigt, zeigt diese Zahl, wie groß \(F_B\) in positiver Richtung sein muss, um das System ins Gleichgewicht zu bringen.)

Zusammenfassung:

- Die Größe der Kraft \(F_A\) ist ungefähr \(246.0N\) und die Größe der Kraft \(F_B\) ist \(245.6N\), um das System im Gleichgewicht zu halten.
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