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Zentrales Kräftesystem: Ermittlung unbekannter Kräfte
Um die unbekannten Kräfte \(F_A\) und \(F_B\) zu finden, müssen wir das gegebene Kräftesystem so ergänzen, dass es sich im Gleichgewicht befindet. Das bedeutet, die Summe aller Kräfte in x-Richtung sowie in y-Richtung muss null ergeben. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten somit:
\(
\sum F_x = 0
\)
\(
\sum F_y = 0
\)
Beginnen wir damit, die x- und y-Komponenten jeder im Problem gegebenen Kraft zu bestimmen. Dazu verwenden wir die Tatsache, dass \(F_x = F \cos(\alpha)\) und \(F_y = F \sin(\alpha)\), wobei \(\alpha\) der Winkel zur positiven x-Achse ist. Für jede Kraft berechnen wir somit:
-
Für \(F_1 = 320N\) und \(\alpha_1 = 35°\):
\(
F_{1x} = 320 \cos(35°)
\)
\(
F_{1y} = 320 \sin(35°)
\)
-
Für \(F_2 = 180N\) und \(\alpha_2 = 55°\):
\(
F_{2x} = 180 \cos(55°)
\)
\(
F_{2y} = 180 \sin(55°)
\)
-
Für \(F_3 = 250N\) und \(\alpha_3 = 160°\):
\(
F_{3x} = 250 \cos(160°)
\)
\(
F_{3y} = 250 \sin(160°)
\)
Nun können wir die Berechnungen durchführen:
- \(F_{1x} = 320 \cos(35°) \approx 262.4N\)
- \(F_{1y} = 320 \sin(35°) \approx 183.4N\)
- \(F_{2x} = 180 \cos(55°) \approx 103.1N\)
- \(F_{2y} = 180 \sin(55°) \approx 147.5N\)
- \(F_{3x} = 250 \cos(160°) \approx 250 \times -0.766 = -191.5N\)
- \(F_{3y} = 250 \sin(160°) \approx 250 \times 0.643 = 160.7N\)
Für die Unbekannten \(F_A\) und \(F_B\):
- \(F_{Ax} = F_A \cos(225°)\)
- \(F_{Ay} = F_A \sin(225°)\)
- \(F_{Bx} = F_B \cos(270°)\)
- \(F_{By} = F_B \sin(270°)\)
Da \(\cos(225°) = -\sqrt{2}/2\) und \(\sin(225°) = -\sqrt{2}/2\), und \(\cos(270°) = 0\) und \(\sin(270°) = -1\), setzen wir unsere Gleichgewichtsbedingungen ein, wobei wir wissen, dass \(F_{Bx} = 0\) weil cos(270°) = 0:
\(
\sum F_x = 262.4 + 103.1 - 191.5 + F_A(-\sqrt{2}/2) = 0
\)
\(
\sum F_y = 183.4 + 147.5 + 160.7 + F_A(-\sqrt{2}/2) + F_B(-1) = 0
\)
Daraus folgt:
- Für \(F_x\): \(174N + F_A(-\sqrt{2}/2) = 0\)
- Für \(F_y\): \(491.6N + F_A(-\sqrt{2}/2) + F_B(-1) = 0\)
Nach \(F_A\) und \(F_B\) aufgelöst:
1. \(F_A(-\sqrt{2}/2) = -174N\) \(\Rightarrow\) \(F_A = \frac{-174}{-\sqrt{2}/2} = \frac{174 \sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 348/\sqrt{2} \approx 246.0N\)
2. Setzen wir \(F_A\) in die zweite Gleichung ein:
\(
491.6 - 246.0 + F_B = 0
\)
\(F_B = -245.6N\) (Da \(F_{By}\) negativ ist und in die negative Richtung der y-Achse zeigt, zeigt diese Zahl, wie groß \(F_B\) in positiver Richtung sein muss, um das System ins Gleichgewicht zu bringen.)
Zusammenfassung:
- Die Größe der Kraft \(F_A\) ist ungefähr \(246.0N\) und die Größe der Kraft \(F_B\) ist \(245.6N\), um das System im Gleichgewicht zu halten.
