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Kurvenintegral eines Vektorfeldes mit Hilfe des Potentials
Um das Kurvenintegral eines Vektorfeldes \( F \) entlang einer Kurve \( \gamma \) zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor:
1. Bestimmen des Potentials \( \Phi \) des Vektorfeldes \( F \), sofern \( F \) ein Gradientenfeld ist. Das Potential \( \Phi \) ist eine Funktion, sodass \( F = \nabla \Phi \). Das bedeutet, jede Komponente von \( F \) ist die partielle Ableitung von \( \Phi \) nach der entsprechenden Variable (\( x, y, z \)).
2. Berechnen des Wertes des Potentials am Anfangs- und Endpunkt der Kurve \( \gamma \).
3. Das Kurvenintegral entlang \( \gamma \) ergibt sich dann als Differenz dieser beiden Werte.
Gegeben: \( F(x, y, z)=\left(2 x y+2 x z^{2}+3 x^{2}, x^{2}+z^{2}+2 y, 2 y z+2 x^{2} z+1\right)^{\top} \) und \( \gamma(t)=\left(t, 2 t^{2}, 3 t^{3}\right)^{\top} \).
Schritt 1: Bestimmen des Potentials \( \Phi \)
Das Potential \( \Phi \) finden wir, indem wir jede Komponente von \( F \) integrieren:
1. \( \frac{\partial \Phi}{\partial x} = 2xy + 2xz^2 + 3x^2 \Rightarrow \Phi = \int (2xy + 2xz^2 + 3x^2) dx = x^2y + x^2z^2 + x^3 + g(y, z) \),
2. \( \frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + z^2 + 2y \Rightarrow \Phi = \int (x^2 + z^2 + 2y) dy = x^2y + z^2y + y^2 + h(x, z) \),
3. \( \frac{\partial \Phi}{\partial z} = 2yz + 2x^2z + 1 \Rightarrow \Phi = \int (2yz + 2x^2z + 1) dz = yz^2 + x^2z^2 + z + i(x, y) \).
Durch Vergleich finden wir das Potential \( \Phi = x^2y + x^2z^2 + y^2 + yz^2 + x^3 + z \) plus eine konstante, die sich herauskürzen wird.
Schritt 2: Werte des Potentials an Anfangs- und Endpunkten
Anfangspunkt von \( \gamma \) ist \( \gamma(0) = (0, 0, 0)^\top \), Endpunkt ist \( \gamma(1) = (1, 2, 3)^\top \).
Berechnung für \( \gamma(0) \):
\( \Phi(0, 0, 0) = 0^2 \cdot 0 + 0^2 \cdot 0^2 + 0^2 + 0 \cdot 0^2 + 0^3 + 0 = 0 \).
Berechnung für \( \gamma(1) \):
\( \Phi(1, 2, 3) = 1^2 \cdot 2 + 1^2 \cdot 3^2 + 2^2 + 2 \cdot 3^2 + 1^3 + 3 = 2 + 9 + 4 + 18 + 1 + 3 = 37 \).
Schritt 3: Berechnung des Kurvenintegrals
Das Kurvenintegral von \( F \) entlang der Kurve \( \gamma \) ist die Differenz der Potentiale an den Endpunkten der Kurve:
\( \int_{\gamma} F \cdot ds = \Phi(1, 2, 3) - \Phi(0, 0, 0) = 37 - 0 = 37 \).
Das Ergebnis des Kurvenintegrals des gegebenen Vektorfeldes \( F \) entlang der Kurve \( \gamma \) ist somit \( 37 \).