Kurvenintegral des Vektorfeldes mit Hilfe des Potentials bestimmen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für das Vektorfeld \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) jeweils das Kurvenintegral entlang der Kurve, die durch \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) parametrisiert sei.
(b) \( F(x, y, z)=\left(2 x y+2 x z^{2}+3 x^{2}, x^{2}+z^{2}+2 y, 2 y z+2 x^{2} z+1\right)^{\top}, \quad \gamma(t)=\left(t, 2 t^{2}, 3 t^{3}\right)^{\top} \).

Hinweis: Für Gradientenfelder lassen sich Kurvenintegrale einfach berechnen, wenn man das zugehörige Potential kennt.

Comments

Ich weiß, dass das Vektorfeld ein Gradientfeld ist und ich möchte diese Aufgabe mit der Potentialmethode lösen. Mit der üblichen Variante bekomme ich für das Kurvenintegral 37 raus und das steht auch in der Lösung.

Ich habe soweit die Aufgabe zu 90% gelöst aber komme einfach nicht weiter.

habe soweit folgendes:

\( \begin{array}{l}\varphi=y x^{2}+z^{2} x^{2}+x^{3}+C_{1}(y, z) \\ \text { Sin die 2. Komponante von F } \\ \Rightarrow C_{1}(z)=z^{2} y+y^{2}+C_{2}(z) \\ \Rightarrow \varphi(x, y, z)=y x^{2}+z^{2} x^{2}+x^{3}+z^{2} y+y^{2}+C_{2}(z)\end{array} \)

bis hierher müsste das richtig sein... und für C2 habe ich

\( \begin{aligned} & \frac{d u}{d z}=2 y z+2 x^{2} z+1 \Leftrightarrow \\ & \left(y x^{2}+z^{2} x^{2}+x^{3}+C_{1}(y, z)\right) \frac{d}{d z}=2 y z+2 x^{2} z+1 \\ \Leftrightarrow & 2 z x^{2}+\left(C_{1}(y, z) \frac{d}{d z}\right)=2 y z+2 x^{2} z+1 \\ \Leftrightarrow & \int C_{2}(z)=y z^{2}+z+C_{2}^{\prime}(z)\end{aligned} \)

das was ich rot markiert habe sollte eigentlich nicht rauskommen... denn mit nur +z am Ende kommt auch wirklich 37 raus... und ich das blaue wirklich 0?

ich habe den fehler...

ich muss in dφ/dz = 2yz+2x²z+1 am Ende mein neues φ mit C₂(z) einsetzen...

also (yx²+z²x²+x³+z²y+y²+C₂(z)) d/dz = 2yz+2x²z+1

<=> 2zx²+2zy+(C₁(y,z) d/dz) = 2yz+2x²z+1 |int nach z

<=> C₂ (z) = z + C'₂ (z)

Nun weiß ich nicht was ich mit C'₂(z) machen soll aber ich nahm das einfach als die konstante D an, was ich 0 setzen kann...

und somit kommt 37 für das Kurvenintegral raus...

[φ(λ(t))] von 0 bis 1 ist 37...

Ich glaube das ist so richtig?

mfg

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Kurvenintegral eines Vektorfeldes mit Hilfe des Potentials

Um das Kurvenintegral eines Vektorfeldes \( F \) entlang einer Kurve \( \gamma \) zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor:

1. Bestimmen des Potentials \( \Phi \) des Vektorfeldes \( F \), sofern \( F \) ein Gradientenfeld ist. Das Potential \( \Phi \) ist eine Funktion, sodass \( F = \nabla \Phi \). Das bedeutet, jede Komponente von \( F \) ist die partielle Ableitung von \( \Phi \) nach der entsprechenden Variable (\( x, y, z \)).
2. Berechnen des Wertes des Potentials am Anfangs- und Endpunkt der Kurve \( \gamma \).
3. Das Kurvenintegral entlang \( \gamma \) ergibt sich dann als Differenz dieser beiden Werte.

Gegeben: \( F(x, y, z)=\left(2 x y+2 x z^{2}+3 x^{2}, x^{2}+z^{2}+2 y, 2 y z+2 x^{2} z+1\right)^{\top} \) und \( \gamma(t)=\left(t, 2 t^{2}, 3 t^{3}\right)^{\top} \).

Schritt 1: Bestimmen des Potentials \( \Phi \)

Das Potential \( \Phi \) finden wir, indem wir jede Komponente von \( F \) integrieren:

1. \( \frac{\partial \Phi}{\partial x} = 2xy + 2xz^2 + 3x^2 \Rightarrow \Phi = \int (2xy + 2xz^2 + 3x^2) dx = x^2y + x^2z^2 + x^3 + g(y, z) \),
2. \( \frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + z^2 + 2y \Rightarrow \Phi = \int (x^2 + z^2 + 2y) dy = x^2y + z^2y + y^2 + h(x, z) \),
3. \( \frac{\partial \Phi}{\partial z} = 2yz + 2x^2z + 1 \Rightarrow \Phi = \int (2yz + 2x^2z + 1) dz = yz^2 + x^2z^2 + z + i(x, y) \).

Durch Vergleich finden wir das Potential \( \Phi = x^2y + x^2z^2 + y^2 + yz^2 + x^3 + z \) plus eine konstante, die sich herauskürzen wird.

Schritt 2: Werte des Potentials an Anfangs- und Endpunkten

Anfangspunkt von \( \gamma \) ist \( \gamma(0) = (0, 0, 0)^\top \), Endpunkt ist \( \gamma(1) = (1, 2, 3)^\top \).

Berechnung für \( \gamma(0) \):
\( \Phi(0, 0, 0) = 0^2 \cdot 0 + 0^2 \cdot 0^2 + 0^2 + 0 \cdot 0^2 + 0^3 + 0 = 0 \).

Berechnung für \( \gamma(1) \):
\( \Phi(1, 2, 3) = 1^2 \cdot 2 + 1^2 \cdot 3^2 + 2^2 + 2 \cdot 3^2 + 1^3 + 3 = 2 + 9 + 4 + 18 + 1 + 3 = 37 \).

Schritt 3: Berechnung des Kurvenintegrals

Das Kurvenintegral von \( F \) entlang der Kurve \( \gamma \) ist die Differenz der Potentiale an den Endpunkten der Kurve:
\( \int_{\gamma} F \cdot ds = \Phi(1, 2, 3) - \Phi(0, 0, 0) = 37 - 0 = 37 \).

Das Ergebnis des Kurvenintegrals des gegebenen Vektorfeldes \( F \) entlang der Kurve \( \gamma \) ist somit \( 37 \).