Kurvenintegral. Zum Ursprung gerichtete Kraft... Berechnen Sie die Arbeit.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Arbeit \( W=\int \limits_{\Gamma} f \cdot d x \), die eine konstante, zum Koordinatenursprung gerichtete Kraft \( f: \mathbb{R}^{2} \supset \Gamma \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) verrichtet, wenn der Angriffspunkt der Kraft den im ersten Quadranten liegenden Teil der Ellipse \( \Gamma: x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1 \) in mathematisch positiver Richtung durchläuft.
Zur Notation: Für das Kurvenintegral 2. Art \( \int \limits_{t_{0}}^{t_{1}}\left(f(\gamma(t)) \mid \gamma^{\prime}(t)\right) d t \) mit dem Integranden \( f=\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right)^{T}: \Gamma \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) und der durch die Parametrisierung \( \gamma \) beschriebene Punktmenge \( \Gamma \subset \mathbb{R}^{n} \) findet man 1. ก. auch die Bezcichnungen
\( \int \limits_{\Gamma} f \cdot d x=\int \limits_{\Gamma} f(x) d \vec{x}=\int \limits_{\Gamma} f(x) \cdot d \vec{s}=\int \limits_{\Gamma} f_{1}(x) d x_{1}+f_{2}(x) d x_{2}+\ldots+f_{n}(x) d x_{n} \text {. } \)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung der Arbeit durch ein Kurvenintegral

Zu lösen ist die Aufgabe, die Arbeit \(W\) zu berechnen, die von einer konstanten, zum Koordinatenursprung gerichteten Kraft \(\mathbf{f}\) verrichtet wird. Die Bewegung erfolgt entlang dem im ersten Quadranten liegenden Teil einer Ellipse, beschrieben durch die Gleichung \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).

Da die Kraft \(\mathbf{f}\) stets zum Ursprung gerichtet ist, lässt sich \(\mathbf{f}\) als eine Funktion von \(\mathbf{x} = (x, y)\) darstellen: \(\mathbf{f}(x, y) = -k(x, y)\), wobei \(k\) ein konstanter Faktor ist, der die Stärke der Kraft angibt. Aber für diese Aufgabe reichen zunächst die allgemeinen Überlegungen. Die Kraft ist nämlich proportional zur Verschiebung vom Ursprung, dies kann vereinfacht als \(-k(x, y)\) dargestellt werden, wobei \(k\) eine Proportionalitätskonstante wäre.

Zunächst parametrisieren wir den Teil der Ellipse \(\Gamma\), welcher im ersten Quadranten liegt, um das Kurvenintegral zu bestimmen. Eine übliche Parametrisierung für eine Ellipse lautet:
\( x = a \cos(t), \quad y = b \sin(t) \)
Hierbei variiert \(t\) von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\), um nur den ersten Quadranten abzudecken.

Die Kraft \(\mathbf{f}\) in Komponenten ausgedrückt, abhängig vom Punkt \((x, y)\), richtet sich zum Ursprung:
\( \mathbf{f}(x, y) = -k \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \)
Dies berücksichtigt, dass die Richtung der Kraft auf den Ursprung gerichtet ist und ihre Komponenten in \(x\) und \(y\) zur Länge des Radiusvektors normiert sind. Hierbei ist zu beachten, dass \(k\) weggelassen wurde, da es als konstante Kraft skaliert und seinen Einfluss in der Endberechnung der Arbeit findet.

Berechnen wir die Arbeit mit dem gegebenen Kurvenintegral:
\( W=\int \limits_{\Gamma} \mathbf{f} \cdot d\mathbf{x} \)
Unter Verwendung der Parametrisierung und der Substitution für \(\mathbf{f}\) erhalten wir:
\( W = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( -\frac{ax'}{\sqrt{(ax')^2+(by')^2}}, -\frac{by'}{\sqrt{(ax')^2+(by')^2}} \right) \cdot (ax' \, dt, by' \, dt) \)
Wobei \(x' = -\sin(t)\) und \(y' = \cos(t)\) die Ableitungen von \(x\) und \(y\) nach \(t\) sind.

Berechnen wir das Skalarprodukt der Vektoren und integrieren es von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\):
\( W = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( a^2\sin^2(t) + b^2\cos^2(t) \right) \frac{dt}{\sqrt{a^2\cos^2(t)+b^2\sin^2(t)}} \)
Da \(\sqrt{a^2\cos^2(t)+b^2\sin^2(t)}\) im Nenner und Zähler auftritt, kürzt es sich weg, und das Integral vereinfacht sich zu:
\( W = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} ( a^2\sin^2(t) + b^2\cos^2(t) ) dt \)
Die Arbeit, die durch die Kraft verrichtet wird, ergibt sich somit zu:
\( W = -\left( a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(t) dt + b^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt \right) \)
Da \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt = \frac{\pi}{4}\), ist die Arbeit:
\( W = -\left( a^2 \frac{\pi}{4} + b^2 \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{4} (a^2 + b^2) \)
Dies ist die verrichtete Arbeit unter Berücksichtigung der konstanten zum Ursprung gerichteten Kraft entlang des im ersten Quadranten liegenden Teils der Ellipse.